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« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

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suites = cas particuliers de fonctions
→‎Opérations sur les suites équivalentes : justification plus précise des équivalents de référence + lien interne + mef du dernier exemple
Ligne 83 :
:Alors, on a <math>\forall n>\max(N_0,N_1)\quad u_nu'_n=\alpha_n\beta_nv_nv'_n</math> et <math>\alpha_n\beta_n \to1</math>.
}}
<br>
{{Exemple|
|contenu =
Déterminer un équivalent de <math>u_n=\sqrt{1+\sqrt n}</math>.
 
On a <math>u_n^2=1+\sqrt n\sim\sqrt n</math> donc <math>u_n=(u_n^2)^\frac12\sim (\sqrt n)^\frac12=n^\frac14</math>.
}}
;Remarques
:De manière générale, il est « interdit » de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si <math>u_n \sim v_n</math> et <math>u'_n \sim v'_n</math>, on peut avoir <math>u_n+u'_n \nsim v_n+v'_n</math>, et pour une fonction <math>f</math>, <math>f(u_n)\nsim f(v_n)</math>.
:Par exemple, on a <math>1+\frac1n\sim 1</math> et <math>1+(-1)=0</math> mais <math>1+\frac1n+(-1)=\frac1n\nsim 0</math>.
: Et pour la composition, un contre-exemple est donné, pour <math>f=\ln</math>, par <math>\operatorname e^{1/n}\sim1</math> et <math>\ln1=0</math> mais <math>\ln\left(\operatorname e^{1/n}\right)=\frac1n\nsim0</math>.
 
 
Voyons maintenant des équivalents qui serviront de référence.
Voyons maintenant des équivalents qui serviront de référence. Tous se déduisent d'équivalents usuels en 0 de fonctions, en les [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison#Composition|composant à droite]] par la suite.
{{Proposition
|titre =Proposition : équivalentsÉquivalents de référence
| contenu =
Soit <math>(u_n)</math> une suite numérique telle que <math>u_n\to 0</math>, alors :
*<math>\ln(1+u_n)\sim u_n</math> ;
*<math>\exp(u_n)-1\sim u_n</math> ;
*<math>\sin u_n\sim u_n</math> et <math>\tan( u_n)\sim u_n</math> ;
*pour tout <math>\sinalpha\in\R</math> : <math>(1+u_n)^\alpha-1\sim\alpha u_n</math>.
*:En particulier : <math>\sqrt{1+u_n}-1\sim\frac12u_nfrac{u_n}2</math>.
*<math>(1+u_n)^\alpha-1\sim\alpha u_n (\alpha\in\R)</math>.
}}
Tous ces exemples se déduisent des équivalents en 0 des fonctions que l'on applique à la suite. Par exemple : la fonction <math>x\mapsto\ln(1+x)</math> est équivalente en 0 à <math>x\mapsto x</math>.
 
{{Exemple|▼
|contenu =
Déterminer un équivalent de <math>u_n=\ln\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}</math>.▼
 
▲{{Exemple|contenu=
On a <math>\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}=1+\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}-1=1+\frac{n^2+n+3}{n^3-n^2}</math>.▼
▲Déterminer un équivalent de <math>u_nv_n=\ln\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}</math>.
 
On a <math>v_n=\ln(1+u_n)</math> avec
Or, <math>\frac{n^2+n+3}{n^3-n^2}\sim\frac{n^2}{n^3}=\frac1n\to0</math>.
▲On a :<math>u_n=\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}-1=1+\frac{n^32+n+3}{n^3-n^2}-1=1+\sim\frac{n^2+n+3}{n^3-n^2}=\frac1n\to0</math>.
 
D'où, <math>v_n\ln\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}sim u_n\sim\frac1n</math>.
}}
 
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