« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

→‎Suites dominées : Début de la partie sur la domination+petite correction
(→‎Opérations sur les suites équivalentes : justification plus précise des équivalents de référence + lien interne + mef du dernier exemple)
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{{clr}}
 
== Suites dominées ==
 
{{Définition
|contenu =
Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites. On dit que <math>(u_n)</math> est dominée par <math>(v_n)</math>, ce que l'on note <math>u_n=\underset{n\to \infty}{O}(v_n)</math>, ou plus simplement <math>u_n=O(v_n)</math>, lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> bornée telle que <math>u_n=v_nw_n</math> à partir d'un certain rang.
}}
;Remarque :
# La notation utilisée ici est celle de Landau. Il existe une autre notation, la notation de Hardy, moins courante, où l'on note <math>u_n\preceq v_n</math> pour signifier que <math>(u_n)</math> est dominée par <math>(v_n)</math>.
# On remarque que deux suites différentes <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> peuvent être dominées par la même suite <math>(w_n)</math>. Dans ce cas l'emploi du signe égalité dans la notation de Landau peut prêter à confusion car on écrit : <math>u_n=O(w_n)</math> et <math>v_n=O(w_n)</math> avec malgré tout <math>(u_n)\neq(v_n)</math>. Pour éviter cette confusion, on pourrait écrire <math>u_n\in O(w_n)</math> où <math>O(w_n)</math> désigne l'ensemble des suites dominées par <math>(w_n)</math>, mais nous nous conformerons à la pratique courante de la notation.
 
{{Proposition
| contenu =
Si <math>(v_n)</math> ne s'annule pas pour <math>n</math> assez grand alors :
:<math>u_n=O(v_n)\Longleftrightarrow\frac{u_n}{v_n}</math> est bornée.
}}
 
{{Proposition
|titre =Proposition : Opérations sur <math>O</math>
| contenu =
Soient <math>(u_n),(u'_n),(v'_n),(v'_n),(w_n)</math> des suites numériques, et <math>\lambda \in \R</math>.
*Si <math>u_n=O(v_n)</math> et <math>v_n=O(w_n)</math> alors <math>u_n=O(w_n)</math>.
*Si <math>u_n=O(v_n)</math> et <math>u'_n=O(v'_n)</math> alors <math>u_nu'_n=O(v_nv'n)</math>.
*Si <math>u_n=O(v_n)</math> et <math>u'_n=O(v'_n)</math> alors <math>\lambda u_n+u'_n=O(\lambda v_n+v'_n)</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
Démontrons le premier point, les autres se démontrant de façon similaire.
:Soient <math> (u_n),(v_n),(w_n)</math> trois suites. Si <math>u_n=O(v_n)</math> alors <math>\exists N_0\in \N</math> et un suite <math>(\alpha_n)</math> bornée tel que <math>\forall n>N_0,\ u_n=\alpha_n v_n</math>. De même, <math>\exists N_1\in \N</math> et un suite <math>(\beta_n)</math> bornée tel que <math>\forall n>N_1,\ u_n=\beta_n v_n</math>.
:Alors <math>\forall n>\max(N_0,N_1),\ u_n=\alpha_n \beta_n v_n</math>, et la suite <math>(\alpha_n \beta_n)</math> est bornée.
:Ce qui montre que <math>u_n=O(v_n)</math>.
}}
 
== Suites équivalentes ==
|titre =Proposition : Opérations sur les équivalents
| contenu =
Soient <math>(u_n),(v_n),(u'_n),(v'_n),(w_n)</math> troisdes suites numériques, et <math>\lambda,\alpha\in \R</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u'_n\sim v'_n</math> alors <math>u_nu'_n\sim v_nv'n</math>.
*:En particulier, si <math>u_n\sim v_n</math> alors <math>\lambda u_n\sim\lambda v_n</math> et <math>u_nw_n\sim v_nw_n</math>.
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