« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

→‎Suites dominées : Suite du cours sur la domination
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Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini. Lesdont notionsune abordéespremière dansinformation cetteest leçondonnée pourpar lesla suiteslimite (équivalence,de dominationla etsuite négligeabilité)en sontl'infini. unCependant, casla particulierlimite desne [[Fonctionssuffit d'unepas variablepour réelle/Relationsdécrire dele comparaison|mêmescomportement notionsd'une poursuite lesen fonctions]]l'infini.
Par exemple, les deux suites définies par <math>u_n=n</math> et <math>v_n=\exp(n)</math> divergent toutes les deux vers <math>+ \infty</math> mais ne divergent pas à la même vitesse, car l'exponentielle croît beaucoup plus vite, comme en témoigne la limite <math>\frac{\exp (n)}{n}\to +\infty</math>. L'objectif des notions présentées ici va justement être de formaliser ces différences.
Les notions abordées dans cette leçon pour les suites (équivalence, domination et négligeabilité) sont un cas particulier des [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison|mêmes notions pour les fonctions]].
 
{{clr}}
 
== Suites dominées ==
Une suite sera dite dominée par une autre si son comportement en l'infini est "encadré" par la suite dominante, et cela permet d'obtenir des informations sur la suite dominée. On traduit cette idée dans la définition suivante :
 
{{Définition
|contenu =
:<math>u_n=O(v_n)\Longleftrightarrow\frac{u_n}{v_n}</math> est bornée.
}}
A ce stade, il faut savoir comment se comporte la relation de comparaison vis-à-vis des opérations usuelles, et ici (contrairement à l'équivalence) tout se passe bien comme nous l'assure le résultat suivant :
 
{{Proposition
|titre =Proposition : Opérations sur <math>O</math>
:Alors <math>\forall n>\max(N_0,N_1),\ u_n=\alpha_n \beta_n v_n</math>, et la suite <math>(\alpha_n \beta_n)</math> est bornée.
:Ce qui montre que <math>u_n=O(v_n)</math>.
}}
 
Voyons quelques applications de la domination :
{{Proposition
|titre =Proposition : Comportement en l'infini
| contenu =
Si <math>u_n=O(v_n)</math> alors :
# Si <math>(v_n)</math> est bornée, alors <math>(u_n)</math> également. En particulier, si <math>(v_n)</math> converge alors <math>(u_n)</math> est bornée.
# Si <math>v_n\to0</math> alors <math>u_n\to0</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
Les résultats découlent directement de la définition.
:En effet, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> bornée par <math>C\in \R</math> et un entier <math>N\in \N</math> tels que <math>\forall n>N u_n=\alpha_n v_n</math>.
:D'où : <math>u_n\leq C v_n</math>, et l'on déduit les résultats souhaités.
}}
 
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