# Mq <math>f</math> est surjective ssi <math>A\cap B=\varnothing</math>
# Donner une cns pour que <math>f</math> soit bijective et expliciter la réciproque de <math>f</math> dans ce cas.
''Solution : voir [[Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection#Exercice 8]]''.
1. Soit X dans P(E) tel que f(X) = (0,0).
Alors (A inter X = 0) et (B inter X) = 0, donc X appartient au complémentaire de (A union B) dans E.
Analyse : si A union B = E, ce complémentaire est l’ensemble vide, donc la fonction est injective car alors X = 0.
Synthèse : si la fonction est injective, f(X) = (0,0) implique X = 0, donc implique Complémentaire(A union B) = 0, donc A union B = E.
Conclusion : par analyse-synthèse, f est injective ssi A union B = E.
2. Démonstration analogue mais pour la surjectivité de f.
3. Bijectivité en dimension infinie : injectivité & surjectivité. Or :
* f est surjective '''ssi''' A union B = E ;
* f est injective '''ssi''' A inter B = Ø ;
Ainsi, une cns pour que f soit bijective est qu'A et B soient en somme directe.
On peut alors expliciter la réciproque de f, qui à tout couple (a, b) associe X tel que (a = A inter X) et (b = B inter X):
f{{exp|-1}}(a, b) = a + b
Fin.
=== DM 7, Exo 2 ===
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