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→DM 7, Exo 2 : fin de solution |
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# Mq la relation binaire <math>\mathcal R</math> dans <math>\N\times\N</math> définie par :
#: <math>(p,q)\mathcal R(p',q')\Leftrightarrow \begin{cases}p+q<p'+q' \\ \mbox{ou }(p+q=p'+q'\mbox{ et }q\le q')\end{cases}</math>
#: est une [[Relation (mathématiques)/Relation d'ordre|relation d'ordre total]].
# Mq si <math>(p,q)\mathcal R(p',q')\mbox{ et }(p,q)\neq (p',q')</math> alors <math>f(p,q)<f(p',q')</math>
# Pour <math>p\in\N^*</math> et <math>q\in\N</math>, calculer <math>f(p-1,q+1)-f(p,q)</math> et <math>f(q+1,0)-f(0,q)</math>
# Mq <math>(\forall n\in\N)(\exists (p,q)\in\N\times\N)\;f(p,q)=n</math>. On pourra procéder par récurrence sur <math>n</math>.
# Mq <math>f</math> est bijective.
#<math>\mathcal R</math> est même un [[w:Ensemble bien ordonné|bon ordre]], comme transporté de l'[[w:Ordre lexicographique|ordre lexicographique]] par l'injection <math>(p,q)\mapsto(p+q,q)</math> (l'ordre lexicographique sur <math>\N\times\N</math> est un bon ordre parce que l'ordre sur <math>\N</math> en est un).
▲====Solution partielle====
#Supposons (p,q)R(p', q') et (p,q) différent de (p',q'), c'est-à-dire :<br>(p + q < p' + q') (1) ou ((p+q = p'+q') et q < q') (2).
#*Dans le cas (2), l'expression de f montre immédiatement que f(p,q) < f(p',q').
Ligne 90 ⟶ 89 :
#*<math>f(p-1,q+1)-f(p,q)=q+1+\frac{(p+q)(p+q+1)}2-q-\frac{(p+q)(p+q+1)}2=1</math> et
#*<math>f(q+1,0)-f(0,q)=0+\frac{(q+1)(q+2)}2-q-\frac{q(q+1)}2=1</math>.
#<math>f(0,0)=0</math>. Si <math>f(p,q)=n</math> alors, d'après la question précédente, <math>n+1</math> s'écrit <math>f(p-1,q+1)</math> si <math>p\ge1</math>, et s'écrit <math>f(q+1,0)</math> si <math>p=1</math>.
#La question 4 montre que ''f'' est surjective. Les questions 1 et 2 montrent qu'elle est injective.
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== Maths, → 11/11/07 ==
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