« Utilisateur:RM77/DMs » : différence entre les versions

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:<math>f(p,q)=q+\frac{(p+q)(p+q+1)}2</math>
#Montrer que la relation binaire <math>\mathcal R</math> sur <math>\N\times\N</math> définie par :
#: <math>(p,q)\mathcal R(p',q')\Leftrightarrow \begin{cases}p+q<p'+q' \\ \mboxtext{ou }(p+q=p'+q'\mboxtext{ et }q\le q')\end{cases}</math>
#: est une [[Relation (mathématiques)/Relation d'ordre|relation d'ordre total]].
#Montrer que si <math>(p,q)\mathcal R(p',q')\mboxtext{ et }(p,q)\neq (p',q')</math> alors <math>f(p,q)<f(p',q')</math>.
# Pour <math>p\in\N^*</math> et <math>q\in\N</math>, calculer <math>f(p-1,q+1)-f(p,q)</math> et <math>f(q+1,0)-f(0,q)</math>.
#Montrer que <math>(\forall n\in\N)(\exists (p,q)\in\N\times\N)\;f(p,q)=n</math>. On pourra procéder par récurrence sur <math>n</math>.
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{{Solution|contenu=
#<math>\mathcal R</math> est même un [[w:Ensemble bien ordonné|bon ordre]], comme transporté de l'[[w:Ordre lexicographique|ordre lexicographique]] par l'injection <math>(p,q)\mapsto(p+q,q)</math> (l'ordre lexicographique sur <math>\N\times\N</math> est un bon ordre parce que l'ordre sur <math>\N</math> en est un).
#Supposons <math>(p,q)\mathcal R(p',q')</math> et <math>(p,q)\ne(p',q')</math>, c'est-à-dire :<br><math>(p + q < p' + q')</math> (1) ou <math>((p+q = p'+q')\text{ et }q < q')</math> (2).
#*Dans le cas (2), l'expression de <math>f</math> montre instantanément que <math>f(p,q)<f(p',q')</math>.
#*Dans le cas (1), on a, en notant <math>s=p+q</math> et <math>t=p'+q'</math> :<br><math>f(p',q')\ge\frac{t(t+1)}2\ge\frac{(s+1)(s+2)}2>\frac{s(s+3)}2=p+q+\frac{s(s+1)}2\ge f(p,q)</math>.