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#<math>\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha^2+\left(\beta+\gamma\right)^2-2\beta\gamma=2\alpha^2+2/\alpha=2\frac{\alpha^3+1}\alpha=2</math>.
}}
 
== Exercice 1-5 ==
Soit <math>P\in\R[X]</math> tel que <math>\forall x\in\R\quad P(x)\ge0</math>. Montrer qu'il existe <math>A,B\in\R[X]</math> tels que <math>P=A^2+B^2</math>.
{{Solution|titre=Indication|contenu=On pourra chercher à factoriser <math>P</math> dans <math>\C[X]</math> sous la forme <math>P=Q\overline Q</math>.}}
{{Solution|contenu=
<math>P\in\R[X]</math> est ''a priori'' le produit dans <math>\R[X]</math> d'un polynôme <math>Q</math> scindé et d'un polynôme unitaire <math>R</math> à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors <math>R(\R)>0</math> donc (puisque <math>P(\R)\ge0</math>) <math>Q(\R)\ge0</math>. Par conséquent, toutes les racines de <math>Q</math> sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que <math>Q</math> est le carré d'un polynôme <math>S\in\R[X]</math>. <math>R</math> étant pour sa part de la forme <math>T\overline T</math> avec <math>T\in\C[X]</math>, on obtient : <math>P=Q\overline Q</math>, avec <math>Q=ST\in\C[X]</math>. En décomposant <math>Q</math> sous la forme <math>A+\mathrm iB</math> avec <math>A,B\in\R[X]</math>, on conclut : <math>P=A^2+B^2</math>.
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{{Wikipédia|Dix-septième problème de Hilbert}}
 
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