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== Exercice 1-2 ==
On note <math>E_n</math> l’ensemble des polynômes unitaires de degré <math>n</math> de <math>\Z[X]</math> dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
# Montrer que <math>E_n</math> est fini.
# Soit <math>P=\prod_{k=1}^n(X-z_k)</math> un élément de <math>E_n</math>. On note <math>Q</math> le polynôme <math>\prod_{k=1}^n(X-z_k^2)</math>. Montrer que <math>Q\in E_n</math>.
# Montrer que les racines non nulles des éléments de <math>E_n</math> sont des racines de l'unité.
 
{{Solution|contenu=
#D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
#<math>Q\in\Z[X]</math> car <math>(-1)^nQ(X^2)=P(X)P(-X)</math>.
#Soit <math>z</math> une racine non nulle d'un élément de <math>E_n</math>. D'après la question 2, les <math>z^{2^p}</math> pour <math>p\in\N</math> sont aussi des racines d'éléments de <math>E_n</math> et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc <math>p,q\in\N</math> distincts tels que <math>z^{2^p}=z^{2^q}</math>.
}}
 
== Exercice 1-3 ==
Déterminer les polynômes <math>P\in\C[X]</math> tels que <math>XP(X+1)=(X+4)P(X)</math>.
{{Solution|contenu=
}}
 
== Exercice 1-43 ==
Soit <math>P(X)=X^3-X+1</math>. Montrer que :
#<math>P</math> a une unique réelle <math>\alpha</math> ;
}}
 
== Exercice 1-54 ==
Soit <math>P\in\R[X]</math> tel que <math>\forall x\in\R\quad P(x)\ge0</math>. Montrer qu'il existe <math>A,B\in\R[X]</math> tels que <math>P=A^2+B^2</math>.
{{Solution|titre=Indication|contenu=On pourra chercher à factoriser <math>P</math> dans <math>\C[X]</math> sous la forme <math>P=Q\overline Q</math>.}}
}}
{{Wikipédia|Dix-septième problème de Hilbert}}
 
== Exercice 1-6 ==
Soient <math>a_1,\dots,a_n</math> ''n'' entiers deux à deux distincts (<math>n\ge1</math>) et <math>T=\prod_{i=1}^n(X-a_i)</math>. Dans chacun des cas suivants, montrer que dans <math>\Z[X]</math>, le polynôme <math>P</math> est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont <math>\pm1,\pm P</math>.
#<math>P=T+1</math> avec ''n'' impair ;
#<math>P=T-1</math> ;
#<math>P=1+T^2</math>.
{{Solution|contenu=
Soient <math>Q,R\in\Z[X]</math> tels que <math>P=QR</math> avec, sans perte de généralité, <math>Q,R</math> unitaires et <math>\deg Q\le\deg R</math>. Montrons que <math>Q=1</math>.
#<math>Q(a_i),R(a_i)\in\Z</math> et <math>Q(a_i)R(a_i)=1</math> donc <math>Q(a_i)=\pm1</math> et <math>R(a_i)=Q(a_i)</math>. Par conséquent, <math>R-Q=TU</math> avec (pour des raisons de degrés et de coefficients dominants) <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=0</math> est impossible (on aurait <math>T+1=Q^2</math> donc <math>n</math> pair). Donc <math>U=1</math> et <math>T+1=Q(T+Q)</math>, si bien que <math>Q=1</math>.
#Par le même raisonnement, <math>R+Q=TU</math> avec <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=0</math> est impossible (on aurait <math>T-1=-Q^2</math>, non unitaire). Donc <math>U=1</math> et <math>T-1=Q(T-Q)</math>, si bien que <math>Q=1</math>.
#Par le même raisonnement, <math>Q(a_i)=\pm1</math>. En fait, <math>Q(a_i)=1</math> car sur <math>\R</math>, puisque <math>Q</math> est unitaire et ne s'annule pas (car <math>QR=1+T^2>0</math>), <math>Q>0</math>. Par conséquent, <math>Q=1+TU</math> avec (puisque <math>Q</math> est unitaire et de degré <math>\le n</math>), <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=1</math> est impossible (<math>T^2+1</math> n'est pas divisible par <math>T+1</math>) donc <math>U=0</math>, si bien que <math>Q=1</math>.
 
(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf et de ce document : <nowiki>https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa</nowiki>.)
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