« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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{{Wikipédia|Dix-septième problème de Hilbert}}
== Exercice 1-5 ==
Soient <math>\alpha\in\R,\,n\in\N,\,P_n=\left(\cos\alpha+X\sin\alpha\right)^n</math>.
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de <math>P_n</math> par <math>(X^2+1)^2</math> et par <math>X^2+1</math>.
{{Solution|contenu=
Le reste de la division euclidienne de <math>P_n</math> par <math>(X^2+1)^2</math> est <math>aX^3+bX^2+cX+d</math> avec (puisque <math>\mathrm i</math> et <math>-\mathrm i</math> sont racines doubles de <math>(X^2+1)^2</math>) :
*<math>-a\mathrm i-b+c\mathrm i+d=P(\mathrm i)=\mathrm e^{n\mathrm i\alpha}</math> ;
*<math>a\mathrm i-b-c\mathrm i+d=P(-\mathrm i)=\mathrm e^{-n\mathrm i\alpha}</math> ;
*<math>-3a+2b\mathrm i+c=P'(\mathrm i)=n\sin\alpha\operatorname e^{(n-1)\mathrm i\alpha}</math> ;
*<math>-3a-2b\mathrm i+c=P'(-\mathrm i)=n\sin\alpha\operatorname e^{-(n-1)\mathrm i\alpha}</math>.
En résolvant le système, on en déduit :
:<math>a=2\sin(n\alpha)-n\sin\alpha\cos((n-1)\alpha),\quad b=\frac{n\sin\alpha\sin((n-1)\alpha)}2,</math>
:<math>c=3\sin(n\alpha)-n\sin\alpha\cos((n-1)\alpha),\quad d=\frac{2\cos(n\alpha)+n\sin\alpha\sin((n-1)\alpha)}2</math>.
Le reste de la division euclidienne de <math>P_n</math> par <math>X^2+1</math> est donc :
:<math>(c-a)X+d-b=\sin(n\alpha)X+\cos(n\alpha)</math>.
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