« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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→Exercice 1-5 : +1 |
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Ligne 78 :
Le reste de la division euclidienne de <math>P_n</math> par <math>X^2+1</math> est donc :
:<math>(c-a)X+d-b=\sin(n\alpha)X+\cos(n\alpha)</math>.
}}
== Exercice 1-6 ==
Montrer que pour tout <math>n\in\N</math>, le polynôme <math>P_n=(X+1)^{6n+1}-X^{6n+1}-1</math> est divisible par <math>(X^2+X+1)^2</math>.
{{Solution|contenu=
Il suffit de vérifier que <math>\mathrm j</math> (donc aussi <math>-\mathrm j</math>) est racine double de <math>P_n</math>.
:<math>P_n(\mathrm j)=\left(-\mathrm j^2\right)^{6n+1}-\mathrm j^{6n+1}-1=-\mathrm j^2-\mathrm j-1=0</math>.
:<math>P'_n(\mathrm j)=(6n+1)\left(\left(-\mathrm j^2\right)^{6n}-\mathrm j^{6n}\right)=(6n+1)(1-1)=0</math>.
}}
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