« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

→‎Suites négligeables : Début de la partie sur les suites négligeables.
(→‎Applications : Ajout d'un exemple de calcul de limite à l'aide d'équivalent)
(→‎Suites négligeables : Début de la partie sur les suites négligeables.)
Soient <math>(u_n),(u'_n),(v'_n),(v'_n),(w_n)</math> des suites numériques, et <math>\lambda \in \R</math>.
*Si <math>u_n=O(v_n)</math> et <math>v_n=O(w_n)</math> alors <math>u_n=O(w_n)</math>.
*Si <math>u_n=O(v_n)</math> et <math>u'_n=O(v'_n)</math> alors <math>u_nu'_n=O(v_nv'n_n)</math>.
*Si <math>u_n=O(v_n)</math> et <math>u'_n=O(v'_n)</math> alors <math>\lambda u_n+u'_n=O(\lambda v_n+v'_n)</math>.
}}
:D'où : <math>u_n\leq C v_n</math>, et l'on déduit les résultats souhaités.
}}
== Suites négligeables ==
Voyons maintenant la notion de suite négligeable devant une autre. Concrètement, ce phénomène se sproduit lorsqu'une suite est "beaucoup plus petite" qu'une autre quand <math>n</math> devient très grand.
{{Définition
|contenu=
Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites. On dit que <math>(u_n)</math> est négligeable devant <math>(v_n)</math>, ou que <math>(v_n)</math> est prépondérante devant <math>(u_n)</math>, ce que l'on note <math>u_n=\underset{n\to \infty}{o}(v_n)</math>, ou plus simplement <math>u_n=o(v_n)</math>, lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> telle que <math>w_n \to 0</math> et que <math>u_n=v_nw_n</math> à partir d'un certain rang.
}}
La même remarque que pour la domination s'applique concernant la notation <math>u_n=o(v_n)</math>. Et on conserve une caractérisation plus simple à l'aide d'un quotient comme nous l'indique la proposition suivante :
{{Proposition
| contenu =
Si <math>(v_n)</math> ne s'annule pas pour <math>n</math> assez grand alors :
:<math>u_n=o(v_n)\Longleftrightarrow\frac{u_n}{v_n}\to 0</math>.
}}
De même que pour la domination, la notion de prépondérance se comporte bien vis-à-vis des opérations algébriques sur les suites.
{{Proposition
|titre =Proposition : Opérations sur <math>o</math>
| contenu =
Soient <math>(u_n),(u'_n),(v'_n),(v'_n),(w_n)</math> des suites numériques, et <math>\lambda \in \R</math>.
*Si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>v_n=o(w_n)</math> alors <math>u_n=o(w_n)</math>.
*Si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>u'_n=o(v'_n)</math> alors <math>u_nu'_n=o(v_nv'_n)</math>.
*Si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>u'_n=o(v'_n)</math> alors <math>\lambda u_n+u'_n=o(\lambda v_n+v'_n)</math>.
}}
Les applications de cette notions se manifestent également dans le comportement "à l'infini" des suites, ce qui est, rappelons-le, l'objectif des notions développées dans cette leçon.
{{Proposition
|titre =Proposition : Comportement en l'infini
| contenu =
Si <math>u_n=o(v_n)</math> alors :
 
Si <math>(v_n)</math> est bornée, alors <math>(u_n) \to 0</math>.
:En particulier, si <math>(v_n)</math> converge, alors <math>u_n\to0</math>.
}}
 
{{Exemple
|titre = Exemples de références
|contenu =
On a les résultats suivants, obtenus en formant le quotient des deux suites et en montrant qu'il tend vers <math>0</math> :
#<math>\forall \alpha, \beta \in \R, (n^\alpha=o(n^\beta) \Longleftrightarrow \alpha<\beta)</math>.
#<math>\forall \alpha \in \R,\ a>1,\ n^\alpha=o(a^n)</math>.
#<math>\forall a\in \R,\ a^n=o(n!)</math>.
#<math>\forall \alpha>0,\ \beta>0,\ \ln(n)^\beta=o(n^\alpha)</math>.
#<math>n!=o(n^n)</math>
}}
== Suites équivalentes ==
=== Premiers pas ===
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