« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

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Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites, et l'objectif est de se concentrer surd'étudier le comportement des suites en l'infini. dont uneUne première information sur ce comportement est donnée par la limite de la suite en l'infini. Cependant, lamais limitecela ne suffit pas pour décrire leson comportement d'une suite en l'infini.
 
Par exemple, les deux suites définies par <math>u_n=n</math> et <math>v_n=\exp(n)</math> divergent toutes les deux vers <math>+ \infty</math> mais ne divergent pas à la même vitesse, car l'exponentielle croît beaucoup plus vite, comme en témoigne la limite <math>\frac{\exp (n)}{n}\to +\infty</math>. L'objectif des notions présentées ici va justement être de formaliser ces différences, et elles trouveront des applications dans le calcul de limite, et dans le cours sur les séries elles permettront d'étudier la convergence des séries.
 
Les notions abordées dans cette leçon pour les suites (équivalence, domination et négligeabilité) sont un cas particulier des [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison|mêmes notions pour les fonctions]].
 
*Si <math>u_n=O(v_n)</math> et <math>v_n=O(w_n)</math> alors <math>u_n=O(w_n)</math>.
*Si <math>u_n=O(v_n)</math> et <math>u'_n=O(v'_n)</math> alors <math>u_nu'_n=O(v_nv'_n)</math>.
*Si <math>u_n=O(v_n)</math> et <math>u'_n=O(v'_nv_n)</math> alors <math>\lambda u_n+u'_n=O(\lambda v_n+v'_n)</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
}}
== Suites négligeables ==
Voyons maintenant la notion de suite négligeable devant une autre. Concrètement, ce phénomène se sproduitproduit lorsqu'une suite est "beaucoup plus petite" qu'une autre quand <math>n</math> devient très grand.
{{Définition
|contenu=
*Si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>v_n=o(w_n)</math> alors <math>u_n=o(w_n)</math>.
*Si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>u'_n=o(v'_n)</math> alors <math>u_nu'_n=o(v_nv'_n)</math>.
*Si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>u'_n=o(v'_nv_n)</math> alors <math>\lambda u_n+u'_n=o(\lambda v_n+v'_n)</math>.
}}
Les applications de cette notions se manifestent également dans le comportement "à l'infini" des suites, ce qui est, rappelons-le, l'objectif des notions développées dans cette leçon.
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