« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

→‎Suites négligeables : Ajout des démonstrations (calque de la partie sur la domination).
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(→‎Suites négligeables : Ajout des démonstrations (calque de la partie sur la domination).)
|contenu=
Démontrons le premier point, les autres se démontrant de façon similaire.
:Soient <math> (u_n),(v_n),(w_n)</math> trois suites. Si <math>u_n=O(v_n)</math> alors <math>\exists N_0\in \N</math> et un suite <math>(\alpha_n)</math> bornée teltels que <math>\forall n>N_0,\ u_n=\alpha_n v_n</math>. De même, <math>\exists N_1\in \N</math> et un suite <math>(\beta_n)</math> bornée teltels que <math>\forall n>N_1,\ u_n=\beta_n v_n</math>.
:Alors <math>\forall n>\max(N_0,N_1),\ u_n=\alpha_n \beta_n v_n</math>, et la suite <math>(\alpha_n \beta_n)</math> est bornée.
:Ce qui montre que <math>u_n=O(v_n)</math>.
*Si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>u'_n=o(v_n)</math> alors <math>\lambda u_n+u'_n=o(v_n)</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
Les applications de cette notions se manifestent également dans le comportement "à l'infini" des suites, ce qui est, rappelons-le, l'objectif des notions développées dans cette leçon.
|contenu=
Démontrons le premier point, les autres se démontrant de façon similaire.
:Soient <math> (u_n),(v_n),(w_n)</math> trois suites. Si <math>u_n=o(v_n)</math> alors <math>\exists N_0\in \N</math> et un suite <math>(\alpha_n)</math> tels que <math>\alpha_n \to 0</math> et <math>\forall n>N_0,\ u_n=\alpha_n v_n</math>. De même, <math>\exists N_1\in \N</math> et un suite <math>(\beta_n)</math> tels que <math>\beta_n</math> et <math>\forall n>N_1,\ u_n=\beta_n v_n</math>.
:Alors <math>\forall n>\max(N_0,N_1),\ u_n=\alpha_n \beta_n v_n</math>, et la suite <math>(\alpha_n \beta_n)</math> tend vers <math>0</math>.
:Ce qui montre que <math>u_n=o(v_n)</math>.
}}
Les applications de cette notionsnotion se manifestent également dans le comportement "à l'infini" des suites, ce qui est, rappelons-le, l'objectif des notions développées dans cette leçon.
{{Proposition
|titre =Proposition : Comportement en l'infini
:En particulier, si <math>(v_n)</math> converge, alors <math>u_n\to0</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
 
|contenu=
Les résultats découlent directement de la définition.
:En effet, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> et un entier <math>N\in \N</math> tels que <math>\alpha_n \to 0</math> et <math>\forall n>N u_n=\alpha_n v_n</math>.
:D'où l'on déduit les résultats souhaités à l'aide des théorèmes de comparaison sur les limites.
}}
{{Exemple
|titre = Exemples de références
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