« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

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meftypo + synthèse des exemples de référence pour o
(→‎Suites négligeables : Ajout des démonstrations (calque de la partie sur la domination).)
m (meftypo + synthèse des exemples de référence pour o)
 
== Suites dominées ==
Une suite sera dite dominée par une autre si son comportement en l'infini est "« encadré" » par la suite dominante, et cela permet d'obtenir des informations sur la suite dominée. On traduit cette idée dans la définition suivante :
{{Définition
|contenu =
Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites. On dit que <math>(u_n)</math> est dominée par <math>(v_n)</math>, ce que l'on note <math>u_n=\,\underset{n\to \infty}{=\,O}(v_n)</math>, ou plus simplement <math>u_n=O(v_n)</math>, lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> bornée telle que <math>u_n=v_nw_n</math> à partir d'un certain rang.
}}
;Remarque :
# La notation utilisée ici est celle de Landau. Il existe une autre notation, la notation de Hardy, moins courante, où l'on note <math>u_n\preceqpreccurlyeq v_n</math> pour signifier que <math>(u_n)</math> est dominée par <math>(v_n)</math>.
# On remarque que deux suites différentes <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> peuvent être dominées par la même suite <math>(w_n)</math>. Dans ce cas l'emploi du signe égalité dans la notation de Landau peut prêter à confusion car on écrit : <math>u_n=O(w_n)</math> et <math>v_n=O(w_n)</math> avec malgré tout <math>(u_n)\neq(v_n)</math>. Pour éviter cette confusion, on pourrait écrire <math>u_n\in O(w_n)</math> où <math>O(w_n)</math> désigne l'ensemble des suites dominées par <math>(w_n)</math>, mais nous nous conformerons à la pratique courante de la notation.
 
|contenu=
Démontrons le premier point, les autres se démontrant de façon similaire.
:Soient <math> (u_n),(v_n),(w_n)</math> trois suites. Si <math>u_n=O(v_n)</math> alors <math>\exists N_0\in \N</math> et unune suite <math>(\alpha_n)</math> bornée tels que <math>\forall n>N_0,\ u_n=\alpha_n v_n</math>. De même, <math>\exists N_1\in \N</math> et un suite <math>(\beta_n)</math> bornée tels que <math>\forall n>N_1,\ u_n=\beta_n v_n</math>.
:Alors <math>\forall n>\max(N_0,N_1),\ u_n=\alpha_n \beta_n v_n</math>, et la suite <math>(\alpha_n \beta_n)</math> est bornée.
:Ce qui montre que <math>u_n=O(v_n)</math>.
}}
== Suites négligeables ==
Voyons maintenant la notion de suite négligeable devant une autre. Concrètement, ce phénomène se produit lorsqu'une suite est "« beaucoup plus petite" » ou « beaucoup moins grande » qu'une autre quand <math>n</math> devient très grand.
{{Définition
|contenu=
Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites. On dit que <math>(u_n)</math> est négligeable devant <math>(v_n)</math>, ou que <math>(v_n)</math> est prépondérante devant <math>(u_n)</math>, ce que l'on note <math>u_n=\,\underset{n\to \infty}{=\,o}(v_n)</math>, ou plus simplement <math>u_n=o(v_n)</math>, lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> telle que <math>w_n \to 0</math> et que <math>u_n=v_nw_n</math> à partir d'un certain rang.
}}
La même remarque que pour la domination s'applique concernant la notation <math>u_n=o(v_n)</math>. Et l'on conserve une caractérisation plus simple à l'aide d'un quotient comme nous l'indique la proposition suivante :
{{Proposition
| contenu =
:Ce qui montre que <math>u_n=o(v_n)</math>.
}}
Les applications de cette notion se manifestent également dans le comportement "« à l'infini" » des suites, ce qui est, rappelons-le, l'objectif des notions développées dans cette leçon.
{{Proposition
|titre =Proposition : Comportement en l'infini
}}
{{Exemple
|titre = Exemples de référencesréférence
|contenu =
On a les résultats suivants, obtenus en formant le quotient des deux suites et en montrant qu'il tend vers <math>0</math> :
#<math>\forall \alpha \in \R,\ a>1,\ n^\alpha=o(a^n)</math>.
#<math>\forall a\in \R,\ a^n=o(n!)</math>.
#<math>\forall \alpha>0,\ \beta>0,\ \ln( n)^\beta=o(n^\alpha)</math>.
#<math>n!=o(n^n)</math>
}}
 
Avec la notation de Hardy <math>u_n\prec v_n</math> pour <math>u_n=o(v_n)</math>, on peut mémoriser l'essentiel de ces résultats sous la forme :
:<math>\forall \alpha>0\quad\forall a>1</math> :
<div style="text-align: center;"><math>\ln n\prec n^\alpha\prec a^n\prec n!\prec n^n</math>.
</div>
 
== Suites équivalentes ==
=== Premiers pas ===
{{Définition
|contenu =
On dit que deux suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont équivalentes, ce que l'on note <math>u_n\,\underset{n\to\infty}\sim \,v_n</math>, ou plus simplement <math>u_n\sim v_n</math>, lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> qui converge vers <math>1</math> et telle que <math>u_n=v_nw_n</math> à partir d'un certain rang.
}}
 
| contenu =
Soient <math>(u_n),(v_n),(u'_n),(v'_n),(w_n)</math> des suites numériques, et <math>\lambda,\alpha\in \R</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u'_n\sim v'_n</math> alors <math>u_nu'_n\sim v_nv'n_n</math>.
*:En particulier, si <math>u_n\sim v_n</math> alors <math>\lambda u_n\sim\lambda v_n</math> et <math>u_nw_n\sim v_nw_n</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>v_n\ne0</math> pour <math>n</math> assez grand, alors <math>\frac1{u_n}\sim\frac1{v_n}</math>.
{{Exemple
|contenu=
Soit <math>x\in\R</math>. Déterminons la limite de la suite définie pour tout <math>n\in \N</math> par <math>u_n=\left(1+\frac{1}{n} xn\right)^n</math>.
 
On a : <math>\ln\left(\left(1+\frac{1}{n} xn\right)^n\right)=n\ln\left(1+\frac{1}{n} xn\right)\sim n\frac{1}{n} xn=1x</math>. Et donc : <math>\ln\left(\left(1+\frac{1}{n} xn\right)^n\right) \to 1x</math>.
 
Finalement, par continuité de l'exponentielle, on obtient : <math>u_n\to\mathrm e^x</math>.
}}
 
 
== Théorème de comparaison avec une suite géométrique ==
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