« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

→‎Interactions entre les notions : Ajout d'une dernière partie sur les opérations entre domination, prépondérance et équivalence.
m (meftypo + synthèse des exemples de référence pour o)
(→‎Interactions entre les notions : Ajout d'une dernière partie sur les opérations entre domination, prépondérance et équivalence.)
 
Finalement, par continuité de l'exponentielle, on obtient : <math>u_n\to\mathrm e^x</math>.
}}
== Interactions entre les notions ==
Dans cette partie nous allons donner des résultats sur le comportement des trois notions vues ci-dessus entre elles. A ce stade, le lecteur débutant peut se sentir submergé par le nombre de résultat à retenir mais il faut bien voir qu'une fois les notions bien comprises (à travers des exercices), la majorité des résultats de cette leçon deviennent élémentaires. Les démonstrations découlant directement des définitions, elles seront laissées à titre d’exercice.
 
{{Proposition
|titre = Proposition : Opérations entre <math>o</math> et <math>\sim</math>
| contenu =
Soient <math>(u_n),\ (v_n),\ (w_n)</math> trois suites. On a les résultats :
* si <math>u_n=o(v_n)</math>, alors <math>u_n+v_n \sim v_n</math>.
* si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>v_n\sim w_n</math>, alors <math>u_n=o(v_n)</math>.
* <math>u_n\sim v_n \Longleftrightarrow u_n=v_n + o(v_n) \Longleftrightarrow u_n=v_n + o(u_n)</math>.
}}
 
{{Proposition
|titre = Proposition : Opérations entre <math>o</math> et <math>O</math>
|contenu =
Soient <math>(u_n),\ (v_n),\ (w_n),\ (w'_n)</math> quatre suites. On a les résultats :
* si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>v_n=O(w_n)</math>, alors <math>u_n=o(w_n)</math>.
* si <math>u_n=O(v_n)</math> et <math>v_n=o(w_n)</math>, alors <math>u_n=o(w_n)</math>.
* si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>v_n=O(w'_n)</math>, alors <math>u_nv_n=o(w_nw'_n)</math>.
}}
 
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