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« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

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Ligne 253 :
== Interactions entre les notions ==
Dans cette partie nous allons donner des résultats sur le comportement des trois notions vues ci-dessus entre elles. A ce stade, le lecteur débutant peut se sentir submergé par le nombre de résultat à retenir mais il faut bien voir qu'une fois les notions bien comprises (à travers des exercices), la majorité des résultats de cette leçon deviennent élémentaires. Les démonstrations découlant directement des définitions, elles seront laissées à titre d’exercice.
 
{{Remarque|contenu=
* siSi <math>u_n=o(v_n)</math> etou <math>v_nu_n\sim w_nv_n</math>, alors <math>u_n=oO(v_n)</math>.▼
}}
 
{{Proposition
|titre = Proposition : Opérationsconversions entre <math>o</math> et <math>\sim</math>
| contenu =
Soient <math>(u_n),\ (v_n),\ (w_n)</math> troisdeux suites. On a les résultats :
* si :<math>v_n+u_n=o(\sim v_n)</math>, alorssi et seulement si <math>u_n+v_n \sim =o(v_n)</math>.,
ou encore :
▲* si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>v_n\sim w_n</math>, alors <math>u_n=o(v_n)</math>.
* :<math>u_n\sim v_n</math> \Longleftrightarrowsi u_n=v_net +seulement o(v_n) \Longleftrightarrowsi <math>u_n-v_n=v_n + o(u_nv_n)</math>.
}}
 
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|contenu =
Soient <math>(u_n),\ (v_n),\ (w_n),\ (w'_n)</math> quatre suites. On a les résultats :
* si <math>u_n=o(v_n)</math> et <math>v_n=O(w_n)</math>, alors <math>u_n=o(w_n)</math>. ;
* si <math>u_n=O(v_n)</math> et <math>v_n=o(w_n)</math>, alors <math>u_n=o(w_n)</math>. ;
* si <math>u_n=o(v_nw_n)</math> et <math>v_n=O(w'_n)</math>, alors <math>u_nv_n=o(w_nw'_n)</math>.
}}
 
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