« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions
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De plus, pour tout <math>n</math>, <math>u_n\le\ell\le v_n</math> : la première inégalité se déduit, par passage à la limite, de <math>\forall q\quad u_n\le v_q</math>, et la seconde se déduit de <math>\forall p\quad u_p\le v_n</math>.
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== Applications ==
Voyons maintenant des exemples classiques d'applications des suites adjacentes.
#La première application va nous permettre de montrer que le nombre <math>e</math> est irrationnel.
#:Pour cela, on va construire deux suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> qui seront adjacentes et de limite <math>e</math>.
#:Posons, pour tout <math>n \in \N^*,\ u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\ et\ v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}</math>.
#:Vérifions que ces deux suites sont adjacentes. On a manifestement <math>(u_n)</math> qui est strictement croissante, montrons alors que <math>(v_n)</math> est décroissante :
#:<math>\begin{align} \forall n\in \N^*,\ v_{n+1}-v_n & =u_{n+1}-u_n+\frac{1}{(n+1).(n+1)!} -\frac{1}{n.n!}
\\ \ & = \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1).(n+1)!} -\frac{1}{n.n!}
\\ \ & = \frac{(n+1)n+n-(n+1)^2}{n(n+1).(n+1)!}
\\ \ & = \frac{-1}{n(n+1).(n+1)!}<0 \end{align}</math>
#:Ainsi <math>(v_n)</math> est décroissante. De plus, on a bien <math>v_n-u_n \to 0</math> et donc les suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont bien adjacentes.
#:On admet que leur limite commune est <math>e</math> (ce qui est un résultat facile quand on connaît la définition de l'exponentielle à l'aide de [[Série entière|série entière]]).
#:Montrons alors que <math>e</math> est irrationnel. Il est usuel pour un montrer qu'un nombre est irrationnel de raisonner par l'absurde, et c’est précisément ce que nous allons faire ici.
#:Supposons donc que <math> e\in \Q</math>, c'est-à-dire qu'il existe <math>p,q \in \Z^*</math> tels que <math>e=\frac{p}{q}</math>.
#:On a <math>u_q=\sum_{k=0}^q\frac{1}{k!}</math>, et l'on en déduit, en réduisant au même dénominateur, que <math>\exists a\in \N,\ u_q=\frac{a}{q}</math>.
#:Ainsi, en utilisant l'inégalité <math>u_q < e <v_q </math>, on a :
#::<math>\frac{a}{q!}<\frac{p}{q}<\frac{a}{q!}+\frac{1}{q.q!} \Longleftrightarrow a<p.(q-1)!<a+\frac{1}{q}\leq a+1</math>
#:Or, <math>a,\ p.(q-1)! \in \N*</math>, et l'inégalité ci-dessus est impossible. On a donc montré <math>e\notin \Q</math>.
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