« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions

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#:Ainsi, en utilisant l'inégalité <math>u_q < e <v_q </math>, on a :
#::<math>\frac{a}{q!}<\frac{p}{q}<\frac{a}{q!}+\frac{1}{q.q!} \Longleftrightarrow a<p.(q-1)!<a+\frac{1}{q}\leq a+1</math>
#:Or, <math>a,\ p.(q-1)! \in \N^*</math>, et l'inégalité ci-dessus est impossible. On a donc montré <math>e\notin \Q</math>.
#Pour la seconde application, on va étudier l'approximation décimale d'un nombre réel.
 
#Pour la seconde application on va étudier l'approximation décimale d'un nombre réel.
#:Soit <math>a\in \R</math>. On définit les deux suites suivantes :
#:<math>\forall n \in \N,\ u_n=10^{-n}E(10^na),\ v_n=10^{-n}(E(10^na)+1)</math> où <math>E</math> désigne la partie entière.
#:On appelle <math>(u_n)</math> l'approximation par défaut de <math>a</math> et <math>(v_n)</math> l'approximation par excès. Ces deux suites donne les <math>n</math> premiers chiffres après la virgule de <math>a</math>.
#:On a : <math>v_n-u_n=10^{-n} \to 0</math>. Il faut donc montrer que <math>(u_n)</math> (resp. <math>(v_n)</math>) est croissante (resp. décroissante).
#:Soit <math>n\in \N</math>. Par définition de la partie entière, on a : <math>\left\{ \begin{array}{l} E(10^na)\leq 10^na<E(10^na)+1</math> et\\ de même : <math>E(10^{n+1}a)\leq 10^{n+1}a<E(10^{n+1}a)+1 \end{array}\right.</math>
#:On en déduit que : <math>\left\{ \begin{array}{l} 10E(10^na)\leq 10^{n+1}a<E(10^{n+1}a)+1</math> et
\\ <math>E(10^{n+1}a)\leq 10^{n+1}a < 10(E(10^na)+1)\end{array}\right.</math>.
#:Comme les nombres <math>10E(10^na),\ E(10^{n+1}a)+1,\ E(10^{n+1}a),\ 10(E(10^na)+1)</math> sont des nombres entiers, on en déduit : <math>\left\{ \begin{array}10E(10^na} \leq E(10^{n+1}a)+1 \\ E(10^{n+1}a) \leq 10(E(10^na)+1)</math>.
Et finalement, en multipliant les deux inéquations par <math>10^{-(n+1)}</math>, on a bien montré que <math>u_n \leq u_{n+1}</math> et <math>v_{n+1} \leq v_n</math>.
#:Les suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont donc adjacentes et convergent donc vers une même limite que l'on notera <math>l</math>. Or, on a : <math>\forall n\in \N,\ u_n\leq a \leq v_n</math>, ce qui permet de conclure que <math>l=a</math> par passage à la limite.
#:On vient donc de construire deux suites adjacentes de nombres décimaux qui convergent vers <math>a</math>. Au passage, on vient de montrer que tout nombre réel peut être vu comme limite d'une suite de nombres décimaux, on dit alors que les nombres décimaux sont denses dans les nombres réels. Remarquons également que dans ce qui précède on peut remplacer <math>10</math> par n'importe quel entier supérieur ou égal à <math>2</math>, c'est-à-dire que l'on peut écrire le nombre réel dans une autre base que la base décimale.
 
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