« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Applications : Corrections |
→Applications : Ajout d'une dernière application : la dichotomie |
||
Ligne 78 :
#:Les suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont donc adjacentes et convergent donc vers une même limite que l'on notera <math>l</math>. Or, on a : <math>\forall n\in \N,\ u_n\leq a \leq v_n</math>, ce qui permet de conclure que <math>l=a</math> par passage à la limite.
#:On vient donc de construire deux suites adjacentes de nombres décimaux qui convergent vers <math>a</math>. Au passage, on vient de montrer que tout nombre réel peut être vu comme limite d'une suite de nombres décimaux, on dit alors que les nombres décimaux sont denses dans les nombres réels. Remarquons également que dans ce qui précède on peut remplacer <math>10</math> par n'importe quel entier supérieur ou égal à <math>2</math>, c'est-à-dire que l'on peut écrire le nombre réel dans une autre base que la base décimale.
#La troisième application est le calcul d'un zéro d'une fonction par la méthode de dichotomie.
#:Soient <math>f\ :\ [a;b] \to \R</math> une fonction continue et strictement monotone sur le segment <math>[a;b]</math> et telle que <math>f(a)f(b)<0</math>, c'est-à-dire que <math>f</math> change de signe sur le segment. On sait alors par le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation <math>f(x)=0</math> admet une unique solution <math>c\in [a;b]</math>.
#:Cependant, ce théorème ne nous donne pas d'information sur la valeur de <math>c</math>, aussi l'une des questions qui se posent est comment trouver une valeur approchée de <math>c</math> quand on ne sait pas résoudre algébriquement l'équation. Pour répondre à cette question, on peut utiliser l'algorithme de dichotomie ci-dessous.
#:L'idée de cet algorithme est de regarder la valeur de <math>f</math> au milieu du segment, et en fonction de cette valeur on va pouvoir réduire l'intervalle. On va ainsi diviser en deux à chaque fois la taille de l'intervalle où <math>c</math> se situe. Plus formellement, on pose : <math>a_0=a,\ b_0=b,\ c_0=\frac{a_0+b_0}{2}</math>. Et, on définit les suites <math>(a_n),\ (b_n),\ (c_n)</math> par récurrence de la façon suivante :
#:*Si <math>f(a_n)f(c_n)\leq 0</math>, on pose : <math>a_{n+1}=a_n,\ b_{n+1}=c_n,\ c_{n+1}=\frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{2}</math>.
#:*Si <math>f(a_n)f(c_n)\geq 0</math>, on pose : <math>a_{n+1}=c_n,\ b_{n+1}=b_n,\ c_{n+1}=\frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{2}</math>.
#:Concrètement, à chaque étape on construit donc deux intervalles <math>[a_n;c_n]</math> et <math>[c_n;b_n]</math>, et on détermine dans quel intervalle se trouve <math>c</math>.
#:Il est évident que la suite <math>(a_n)</math> est croissante et majorée, et que la suite <math>(b_n)</math> est décroissante et minorée. Elles sont donc convergentes, montrons qu'elles sont adjacentes.
#:On a : <math>\forall n \in \N,\ b_n-a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}</math>, et on obtient par une récurrence directe :<math> \forall n\in \N,\ b_n-a_n=\frac{a_0+b_0}{2^n}</math>. Et donc <math>b_n-a_n \to 0</math>, ce qui prouve que les suites sont adjacentes, et converge vers une même limite <math>l</math>. Or, on a :<math>\forall n\in \N,\ a_n \leq c \leq b_n</math>, et donc en passant à la limite on obtient <math>l=c</math>, et les deux suites convergent donc vers <math>c</math>.
#:Finalement, en observant que : <math>\forall n\in \N,\ 0\leq c-a_n \leq b_n-a_n \leq \frac{b-a}{2^n}</math>. Ceci montre que <math>a_n</math> et <math>b_n</math> sont des valeurs approchées de <math>c</math> à <math>\frac{b-a}{2^n}</math> près.
{{Bas de page
| |||