« Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites » : différence entre les versions

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| page_liée = Exercices/Convergence
}}
Dans cette leçon, nous allons étudier la notion de suite extraite qui correspond à l'idée intuitive de ne prendre que certains termes au sein d'une suite. L'exemple le plus marquant pour illustrer cette idée est de prendre tous les termes de rang pair (ou impair) d'une suite. Cette notion nous permet d'obtenir des informations sur la limite d'une suite, et nous permet d'énoncer l'un des premiers théorèmes fondamentales de topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass.
{{clr}}
 
== Suites extraites ==
 
 
 
 
== Définitions et premières propriétés ==
=== Suites extraites ===
Formalisons tout d'abord l'idée de ne prendre que certains termes de la suite dans la définition suivante :
{{Définition
| contenu =
{{Wikipédia|Sous-suite}}
On dit que <math>(v_p)</math> est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite <math>(u_n)</math> s'il existe une application <math>\phi:\N\to\N</math> strictement croissante, appelée extractrice, telle que <math>\forall p\in\N,\quad v_p=u_{\phi(p)}</math>.
}}
 
;Remarques :
== Limites de suites extraites ==
#On montre par une récurrence directe que pour toute extractrice <math>\phi</math>, on a : <math>\phi(n) \geq n</math>. Ce qui prouve que <math>\phi(n)\to \infty</math>.
#Si <math>\phi,\ \psi</math> sont deux extractrices, alors <math>\phi\circ\phi</math> est également une extractrice.
#L'exemple fondamentale est donnée par les deux suites <math>(u_{2n}),\ (u_{2n+1})</math> qui sont donc les suites extraites des termes de rang pair, et de rang impair respectivement.
 
=== Limites de suites extraites ===
Le théorème suivant est le point central de cette partie, et va nous permettre d'obtenir des informations sur la limite d'une suite à partir de ses suites extraites. En particulier, il nous donne un candidat potentiel pour la limite d'une suite à partir de la limite d’une de ses suites extraites.
{{Théorème
| contenu=
Si une suite admet une limite <math>\ell</math> (finie ou infinie) alors toutes ses suites extraites ont pour limite <math>\ell</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
 
|contenu =
Soit <math>(u_n)</math> tel que <math>u_n \to \ell</math>, <math>\phi</math> une extractrice, et <math>\epsilon>0</math>.<br />
Par définition de la convergence, on a : <math>\exists N\in\N,\ \forall n>N,\ |u_n-\ell|<\epsilon</math>.<br />
Par stricte croissance de <math>\phi</math>, et par la première remarque ci-dessus, on a : <math>\forall n>N,\ \phi(n)>\phi(N)\geq N</math>. <br />
Ce qui implique <math>|u_{\phi(n)}-\ell|<0</math> et donc <math>u_{\phi(n)}\to \ell</math>.
}}
On affine le résultat à l'aide du corollaire suivant qui va nous permettre de dire facilement si une suite diverge.
{{Corollaire|contenu=
Si deux suites extraites deSoit <math>(u_n)</math> ontune deuxsuite.<br limites différentes, alors <math>(u_n)</math> diverge.}}
*Si deux suites extraites de <math>(u_n)</math> ont deux limites différentes, alors <math>(u_n)</math> diverge.
 
*S'il existe une suite extraite de <math>(u_n)</math> qui n'admet pas de limite, alors <math>(u_n)</math> n'admet pas de limite.}}
{{Exemple|contenu=
La suite <math>(u_n)_{n\in\N^*}</math> définie par
diverge car <math>u_{2k}=\frac1{2k}+1\to1</math> et <math>u_{2k+1}=\frac1{2k+1}-1\to-1</math>.
}}
Démontrons maintenant un résultat qui paraît évident mais qui est très souvent utile dans la pratique :
 
{{Proposition
== Suite extraite d'une suite bornée ==
|contenu = Soit <math>(u_n)</math>, et <math>\ell \in \bar\R</math> une suite. Si <math>u_{2n} \to \ell</math> et <math>u_{2n+1}\to \ell</math>, alors <math>u_n\to \ell</math>.}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
Soit <math>(u_n)</math> tel que <math>u_{2n} \to \ell</math>, et <math>u_{2n+1} \to \ell</math>, et <math>\epsilon>0</math>.<br />
On a : <math>\exists N_1\in\N,\ \forall n>N_1,\ |u_{2n}-\ell|<\epsilon</math> et <math>\exists N_2\in\N,\ \forall n>N_2,\ |u_{2n+1}-\ell|<\epsilon</math> .<br />
Donc, en posant <math>N=max(2N_1,2N_2+1)</math>, on a <math>\forall n>N,\ |u_n-\ell|<\epsilon</math>. <br />
En effet, pour <math>n>N</math>, il existe <math>p\in \N</math> tel que <math>n=2p</math> ou <math>n=2p+1</math>. Et finalement, on a prouvé que : <math>u_n \to \ell</math>.
}}
;Remarque :
:Il est important de souligner que ce n'est pas parce que les suites <math>(u_{2n})</math> et <math>(u_{2n+1})</math> convergent que la suite <math>(u_n)</math> converge (comme le montre l'exemple précédent), il faut qu'elle converge vers la même limite.
== Théorème de Bolzano-Weierstrass ==
{{Théorème
| contenu ={{Wikipédia|Théorème de Bolzano-Weierstrass}}
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