« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Mise en forme + Relecture |
→Applications : Ajout du théorème des segments emboîtés. |
||
Ligne 88 :
#:On a : <math>\forall n \in \N,\ b_n-a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}</math>, et on obtient par une récurrence directe : <math> \forall n\in \N,\ b_n-a_n=\frac{a_0+b_0}{2^n}</math>. Et donc <math>b_n-a_n \to 0</math>, ce qui prouve que les suites sont adjacentes, et converge vers une même limite <math>l</math>. Or, on a : <math>\forall n\in \N,\ a_n \leq c \leq b_n</math>, et donc en passant à la limite on obtient <math>l=c</math>, et les deux suites convergent donc vers <math>c</math>.
#:Finalement, en observant que : <math>\forall n\in \N,\ 0\leq c-a_n \leq b_n-a_n \leq \frac{b-a}{2^n}</math>. Ceci montre que <math>a_n</math>et <math>b_n</math>sont des valeurs approchées de <math>c</math> à <math>\frac{b-a}{2^n}</math> près.
#La dernière application est l'un des théorèmes fondamentaux sur la toplogie de <math>\R</math>,: le théorème des segments emboîtés. Sa démonstration est directe par application du théorème des suites adjacentes. Il permet, en particulier, de démontrer un autre résultat fondamental : le théorème de Bolzano-Weierstrass.
{{Théorème
|titre= Théorème des segments emboîtés
|contenu =
Soient <math>(a_n),\ (b_n)</math> deux suites telles <math>\forall n\in \N,\ a_n \leq b_n</math> et <math>[a_{n+1};b_{n+1}] \subset [a_n;b_n]</math>, et telles que <math>b_n-a_n \to 0</math>.<br />
Alors, il existe un unique réel <math>\ell</math> tel que <math>\underset{n\in\N}{\cap}[a_n;b_n]=\ell</math>
}}
{{Bas de page
| |||