« Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites » : différence entre les versions

(→‎Théorème de Bolzano-Weierstrass : Ajout de la preuve.)
:Il est important de souligner que ce n'est pas parce que les suites <math>(u_{2n})</math> et <math>(u_{2n+1})</math> convergent que la suite <math>(u_n)</math> converge (comme le montre l'exemple précédent), il faut qu'elle converge vers la même limite.
== Théorème de Bolzano-Weierstrass ==
Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de <math>\R</math> est bornée et atteint ses bornes.
{{Théorème
|titre = Théorème de Bolzano-Weierstrass
| contenu ={{Wikipédia|Théorème de Bolzano-Weierstrass}}
De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous suite convergente.
}}
{{Démonstration déroulante
| contenu =
Soit <math>(u_n)</math> une suite réelle bornée.<br />
L'idée de la démonstration est d'utiliser une méthode de dichotomie pour construire deux suites <math>(a_n),\ (b_n)</math> qui vérifieront le théorème des fermés emboîtés, et une extractrice <math>\phi</math> telle que <math>\forall n\in \N,\ u_{\phi(n)}\in[a_n;b_n]</math>.
 
Comme la suite <math>(u_n)</math> est bornée, il existe <math>a_0,\ b_0\in \R</math> tels que <math>\forall n\in \N,\ a_0\leq u_n \leq b_0</math>, et l'ensemble <math>\{k\in\N,u_k\in[a_0;b_0]\}</math> est donc infini.<br />
Supposons que, pour <math>n\in \N</math>, on a réussi à construire <math>a_n,\ b_n \in \R</math> vérifiant : <math>a_n \leq b_n</math>, l'ensemble <math>\{k\in\N,u_k\in[a_n;b_n]\}</math> est infini, et <math>a_n-b_n=\frac{1}{2^n}(b_0-a_0)</math>.<br />
Posons <math>c_n=\frac{a_n+b_n}{2}</math>. On a alors forcément l'un des deux ensembles <math>\{k\in\N,u_k\in[a_n;c_n]\},\ \{k\in\N,u_k\in[c_n;b_n]\}</math> qui est infini.<br />
Il existe donc <math>a_{n+1},\ b_{n+1}\in \R</math> vérifiant : <math>a_{n+1} \leq b_{n+1}</math>, l'ensemble <math>\{k\in\N,u_k\in[a_{n+1};b_{n+1}]\}</math> est infini, et <math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}(b_0-a_0)</math>. (Prendre <math>a_{n+1}=a_n,\ b_{n+1}=c_n</math> si le premier ensemble ci-dessus est infini, et réciproquement).
 
Les deux suites <math>(a_n),\ (b_n)</math> que nous cherchions sont donc construites ainsi par récurrence. Il reste à définir l'extractrice <math>\phi</math>. Pour cela, on pose : <math>\phi(0)=0</math>, et pour tout <math>n\in\N</math>, supposons <math>\phi(n)</math> construit, on sait qu'il existe <math>k\in\N</math> vérifiant <math>k > \phi(n)</math> et <math>u_k \in [a_{n+1};b_{n+1}]</math>, (on prends <math>k=min\{k >\phi(n),\ u_k\in[a_{n+1};b_{n+1}]\}</math> qui est bien un ensemble minoré non vide), et on pose finalement <math>\phi(n+1)=k</math>. Et, <math>/phi</math> est alors construite par récurrence.<br />
 
On a alors, comme voulu, les deux suites <math>(a_n),\ (b_n)</math> qui vérifient le théorème des segments emboîtés, et elle convergent donc toutes les deux vers une limite <math>\ell</math>. Or, d'après l'inégalité <math>a_n\leq u_{\phi(n)}\leq b_n</math> (vraie par construction) et le théorème des gendarmes, on a bien <math>u_{\phi(n)}\to \ell</math>.<br />
On a donc bien trouvé une sous suite extraite de la suite réelle bornée <math>(u_n)</math>.
}}
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
130

modifications