« Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites » : différence entre les versions

inclure dans la preuve le cas d'une limite infinie
m (màj n°)
(inclure dans la preuve le cas d'une limite infinie)
}}
Dans cette leçon, nous allons étudier la notion de suite extraite qui correspond à l'idée intuitive de ne prendre que certains termes au sein d'une suite. L'exemple le plus marquant, pour illustrer cette idée, est de prendre tous les termes de rang pair (ou impair) d'une suite. Cette notion nous permet d'obtenir des informations sur la limite d'une suite, et nous permet d'énoncer l'un des premiers théorèmes fondamentaux de topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass.
 
 
 
 
 
== Définitions et premières propriétés ==
#On montre par une récurrence directe que pour toute extractrice <math>\phi</math>, on a : <math>\phi(n) \geq n</math>. Ce qui prouve que <math>\phi(n)\to \infty</math>.
#Si <math>\phi,\ \psi</math> sont deux extractrices, alors <math>\phi\circ\phi</math> est également une extractrice.
#L'exemple fondamentalefondamental est donnée par les deux suites <math>(u_{2n}),\ (u_{2n+1})</math>, qui sont donc les suites extraites des termes de rang pair, et de rang impair respectivement.
 
=== Limites de suites extraites ===
{{Démonstration déroulante
|contenu =
SoitSoient <math>(u_n)</math> teltelle que <math>u_n \to \ell</math>, <math>\phi</math> une extractrice, et <math>A<\epsilon>0ell</math>.<br />
 
Par définition de la convergence, on a : <math>\exists N\in\N,\ \forall n>N,\ |u_n-\ell|<\epsilon</math>.<br />
ParD'après strictela croissancedéfinition de <math>\phi</math>, et par la première remarque ci-dessuslimite, on a : <math>\forallexists n>N_0\in\N,\ quad\phi(forall n)>\phi(N)ge N_0\geqquad NA<u_n</math>. <br />
 
Ce qui implique <math>|u_{\phi(n)}-\ell|<0</math> et donc <math>u_{\phi(n)}\to \ell</math>.
Par stricte croissance de <math>\phi</math>, et par la première remarque ci-dessus, on a : <math>\forall n\ge N\quad\phi(n)\ge\phi(N)\ge N</math>,
Cece qui implique <math>|u_{\phi(n)}-\ell|A<0</math> et donc <math>u_{\phi(n)}\to \ell</math>.
 
On démontre de même, pour tout <math>B>\ell</math> :
:<math>\exists N_1\in\N\quad\forall n\ge N_1\quad B>u_{\phi(n)}</math>
 
et donc <math>u_{\phi(n)}\to\ell</math>.
}}
On affine le résultat à l'aide du corollaire suivant qui va nous permettre, delorsqu'une diresuite facilementdiverge, side unele suiteprouver divergefacilement.
{{Corollaire|contenu=
Soit <math>(u_n)</math> une suite.<br />
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