« Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites » : différence entre les versions
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inclure dans la preuve le cas d'une limite infinie |
m →Limites de suites extraites : plus précis |
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Ligne 43 :
et donc <math>u_{\phi(n)}\to\ell</math>.
}}
{{Corollaire|contenu=
Soit <math>(u_n)</math> une suite.
*Si deux suites extraites de <math>(u_n)</math> ont deux limites différentes, alors <math>(u_n)</math>
*S'il existe une suite extraite de <math>(u_n)</math> qui n'admet pas de limite, alors <math>(u_n)</math> n'admet pas de limite.}}
{{Exemple|contenu=
Ligne 53 :
diverge car <math>u_{2k}=\frac1{2k}+1\to1</math> et <math>u_{2k+1}=\frac1{2k+1}-1\to-1</math>.
}}
{{Proposition
|contenu =
Si <math>u_{2n} \to \ell</math> et <math>u_{2n+1}\to \ell</math>, alors <math>u_n\to \ell</math>. {{CfExo|idfaculté=mathématiques|exercice=[[../Exercices/Convergence#Exercice 3|Convergence, exercice 3]]}}
}}
;Remarque :
:Il est important de souligner
== Théorème de Bolzano-Weierstrass ==
Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de <math>\R</math> est bornée et atteint ses bornes.
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