« Axiomes de Peano » : différence entre les versions
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→Suite définie par une relation de récurrence : +corollaire |
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==Suite définie par une relation de récurrence==
{{Théorème
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Soient <math>X</math> un ensemble, <math>f:X\
| contenu ={{Wikipédia|Définition par récurrence}}▼
▲Soient <math>X</math> un ensemble, <math>f:X\rightarrow X</math> une application et <math>a</math> un élément de <math>X</math>.
Alors, il existe une unique suite <math>(u_n)_{n\in\N}</math> d'éléments de <math>X</math> vérifiant :
* <math>u_0=a</math> ;
* <math>\forall n\in\N\quad u_{S(n)}=f(u_n)</math>.
Ligne 30 ⟶ 29 :
*L'existence et l'unicité de <math>u^0</math> sont immédiates.
*Supposons l'existence et l'unicité de <math>u^n</math> et montrons celles de <math>u^{S(n)}</math>. Une suite <math>v=\left(v_k\right)_{0\le k\le S(n)}</math> vérifie les deux points si et seulement si sa restriction à <math>\{0,\dots,n\}</math> les vérifie c.-à-d. est égale à <math>u^n</math> et de plus, <math>v_{S(n)}=f(v_n)</math> c.-à-d. <math>v_{S(n)}=f(u^n_n)</math>.
}}
On en déduit la généralisation suivante :
{{Corollaire
▲ | contenu ={{Wikipédia|Définition par récurrence}}
Soient <math>E</math> un ensemble, <math>h:\N\times E\to E</math> une application et <math>b</math> un élément de <math>E</math>.
Alors, il existe une unique suite <math>(v_n)_{n\in\N}</math> d'éléments de <math>E</math> vérifiant :
* <math>v_0=b</math> ;
* <math>\forall n\in\N\quad v_{S(n)}=h(n,v_n)</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
En appliquant le théorème à
:<math>X=\N\times E,\quad f:X\to X,\;(n,e)\mapsto(S(n),h(n,e)),\quad a=(0,b)</math>,
on obtient une suite <math>(u_n)</math> d'éléments de <math>X</math>, donc de la forme <math>u_n=(w_n,v_n)</math> (en particulier, <math>w_0=0</math> et <math>v_0=b</math>).
On démontre alors facilement (par récurrence) que
:<math>\forall n\in\N\quad w_n=n</math>,
et l'on en déduit que
:<math>\forall n\in\N\quad (S(n),v_{S(n)})=u_{S(n)}=f(u_n)=f(n,v_n)=(S(n),h(n,v_n))</math>,
ce qui prouve que <math>v_{S(n)}=h(n,v_n)</math>.
}}
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