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== Théorème de Bolzano-Weierstrass ==
Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer [[Fonctions d'une variable réelle/Continuité#Théorèmes sur les fonctions continues|un théorème bien connu de l'analyse]] qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de <math>\R</math> est bornée et atteint ses bornes.
{{Théorème
|titre = Théorème de Bolzano-Weierstrass
De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous suite convergente.
}}
{{Démonstration déroulante| titre = Démonstration par [[w:Méthode de dichotomie|dichotomie]]|contenu =
Soit <math>(x_n)_{n \in \N}</math> une suite à valeurs dans un segment <math>[a,b]</math> de ℝ. La démonstration procède en deux étapes, qui sont toutes deux des [[Axiomes de Peano#Suite définie par une relation de récurrence|constructions par récurrence]] :
| contenu =
#construction de deux [[../Suites adjacentes|suites adjacentes]] <math>(a_n)_{n\in\N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\N}</math> telles que chaque intervalle <math>[a_n,b_n]</math> contient une infinité de termes de la suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math> ;
Soit <math>(u_n)</math> une suite réelle bornée.<br />
#construction de la suite extraite convergente.
L'idée de la démonstration est d'utiliser une méthode de dichotomie pour construire deux suites <math>(a_n),\ (b_n)</math> qui vérifieront le théorème des fermés emboîtés, et une extractrice <math>\phi</math> telle que <math>\forall n\in \N,\ u_{\phi(n)}\in[a_n;b_n]</math>.
 
*'''Construction par dichotomie des suites <math>(a_n)_{n\in\N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\N}</math>'''<br>On pose <math>a_0=a</math> et <math>b_0=b</math>.<br />Pour tout entier naturel <math>n</math>, si l'intervalle <math>\left[a_n,\frac{a_n+b_n}2\right] </math> contient une infinité de termes de la suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math>, on pose <math>a_{n+1}=a_n</math> et <math>b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2</math>.<br />Sinon, l'intervalle <math>\left[\frac{a_n+b_n}2,b_n\right]</math> contient une infinité de termes de la suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math> ; on pose alors <math>a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}</math> et <math>b_{n+1} = b_n </math>.<br />Par construction, <math>\left(\left[a_n,b_n\right]_{n\in\N}\right)</math> est une suite de [[../Suites adjacentes#Applications|segments emboîtés]] et <math>b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\to0</math>.
Comme la suite <math>(u_n)</math> est bornée, il existe <math>a_0,\ b_0\in \R</math> tels que <math>\forall n\in \N,\ a_0\leq u_n \leq b_0</math>, et l'ensemble <math>\{k\in\N,u_k\in[a_0;b_0]\}</math> est donc infini.<br />
*'''Construction de la suite extraite convergente'''<br>Posons <math>\varphi(0)=0</math>. Pour tout entier naturel <math>n</math>, prenons pour <math>\varphi(n+1)</math> le plus petit entier <math>m</math> strictement supérieur à <math>\varphi(n)</math> tel que <math>x_m\in\left[a_{n+1},b_{n+1}\right]</math> (cet entier existe puisque <math>\left[ a_{n+1},b_{n+1}\right]</math> contient une infinité de termes de la suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math>).<br />La suite extraite <math>\left(x_{\varphi(n)}\right)_{n\in\N}</math> converge vers la limite commune à <math>(a_n)_{n\in\N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\N}</math>, d'après le [[Suites et récurrence/Comparaison de suites|théorème des gendarmes]].
Supposons que, pour <math>n\in \N</math>, on a réussi à construire <math>a_n,\ b_n \in \R</math> vérifiant : <math>a_n \leq b_n</math>, l'ensemble <math>\{k\in\N,u_k\in[a_n;b_n]\}</math> est infini, et <math>a_n-b_n=\frac{1}{2^n}(b_0-a_0)</math>.<br />
}}
Posons <math>c_n=\frac{a_n+b_n}{2}</math>. On a alors forcément l'un des deux ensembles <math>\{k\in\N,u_k\in[a_n;c_n]\},\ \{k\in\N,u_k\in[c_n;b_n]\}</math> qui est infini.<br />
Il existe donc <math>a_{n+1},\ b_{n+1}\in \R</math> vérifiant : <math>a_{n+1} \leq b_{n+1}</math>, l'ensemble <math>\{k\in\N,u_k\in[a_{n+1};b_{n+1}]\}</math> est infini, et <math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}(b_0-a_0)</math>. (Prendre <math>a_{n+1}=a_n,\ b_{n+1}=c_n</math> si le premier ensemble ci-dessus est infini, et réciproquement).
 
Les deux suites <math>(a_n),\ (b_n)</math> que nous cherchions sont donc construites ainsi par récurrence. Il reste à définir l'extractrice <math>\phi</math>. Pour cela, on pose : <math>\phi(0)=0</math>, et pour tout <math>n\in\N</math>, supposons <math>\phi(n)</math> construit, on sait qu'il existe <math>k\in\N</math> vérifiant <math>k > \phi(n)</math> et <math>u_k \in [a_{n+1};b_{n+1}]</math>, (on prends <math>k=min\{k >\phi(n),\ u_k\in[a_{n+1};b_{n+1}]\}</math> qui est bien un ensemble minoré non vide), et on pose finalement <math>\phi(n+1)=k</math>. Et, <math>/phi</math> est alors construite par récurrence.<br />
 
On a alors, comme voulu, les deux suites <math>(a_n),\ (b_n)</math> qui vérifient le théorème des segments emboîtés, et elle convergent donc toutes les deux vers une limite <math>\ell</math>. Or, d'après l'inégalité <math>a_n\leq u_{\phi(n)}\leq b_n</math> (vraie par construction) et le théorème des gendarmes, on a bien <math>u_{\phi(n)}\to \ell</math>.<br />
On a donc bien trouvé une sous suite extraite de la suite réelle bornée <math>(u_n)</math>.
}}
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| idfaculté = mathématiques
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