« Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites » : différence entre les versions
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== Théorème de Bolzano-Weierstrass ==
Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer [[Fonctions d'une variable réelle/Continuité#Théorèmes sur les fonctions continues|un théorème bien connu de l'analyse]] qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de <math>\R</math> est bornée et atteint ses bornes.
{{Théorème
|titre = Théorème de Bolzano-Weierstrass
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De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous suite convergente.
}}
{{Démonstration déroulante| titre = Démonstration par [[w:Méthode de dichotomie|dichotomie]]|contenu =
Soit <math>(x_n)_{n \in \N}</math> une suite à valeurs dans un segment <math>[a,b]</math> de ℝ. La démonstration procède en deux étapes, qui sont toutes deux des [[Axiomes de Peano#Suite définie par une relation de récurrence|constructions par récurrence]] :
#construction de deux [[../Suites adjacentes|suites adjacentes]] <math>(a_n)_{n\in\N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\N}</math> telles que chaque intervalle <math>[a_n,b_n]</math> contient une infinité de termes de la suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math> ;
#construction de la suite extraite convergente.
*'''Construction par dichotomie des suites <math>(a_n)_{n\in\N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\N}</math>'''<br>On pose <math>a_0=a</math> et <math>b_0=b</math>.<br />Pour tout entier naturel <math>n</math>, si l'intervalle <math>\left[a_n,\frac{a_n+b_n}2\right] </math> contient une infinité de termes de la suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math>, on pose <math>a_{n+1}=a_n</math> et <math>b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2</math>.<br />Sinon, l'intervalle <math>\left[\frac{a_n+b_n}2,b_n\right]</math> contient une infinité de termes de la suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math> ; on pose alors <math>a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}</math> et <math>b_{n+1} = b_n </math>.<br />Par construction, <math>\left(\left[a_n,b_n\right]_{n\in\N}\right)</math> est une suite de [[../Suites adjacentes#Applications|segments emboîtés]] et <math>b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\to0</math>.
*'''Construction de la suite extraite convergente'''<br>Posons <math>\varphi(0)=0</math>. Pour tout entier naturel <math>n</math>, prenons pour <math>\varphi(n+1)</math> le plus petit entier <math>m</math> strictement supérieur à <math>\varphi(n)</math> tel que <math>x_m\in\left[a_{n+1},b_{n+1}\right]</math> (cet entier existe puisque <math>\left[ a_{n+1},b_{n+1}\right]</math> contient une infinité de termes de la suite <math>(x_n)_{n\in\N}</math>).<br />La suite extraite <math>\left(x_{\varphi(n)}\right)_{n\in\N}</math> converge vers la limite commune à <math>(a_n)_{n\in\N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\N}</math>, d'après le [[Suites et récurrence/Comparaison de suites|théorème des gendarmes]].
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{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
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