« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions

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#:Montrons alors que <math>e</math> est irrationnel. Il est usuel pour un montrer qu'un nombre est irrationnel de raisonner par l'absurde, et c’est précisément ce que nous allons faire ici.
#:Supposons donc que <math> e\in \Q</math>, c'est-à-dire qu'il existe <math>p,q \in \Z^*</math> tels que <math>e=\frac{p}{q}</math>.
#:On a <math>u_q=\sum_{k=0}^q\frac{1}{k!}</math>, et l'on en déduit, en réduisant au même dénominateur, que <math>\exists a\in \N,\ u_q=\frac{a}{q!}</math>.
#:Ainsi, en utilisant l'inégalité <math>u_q < e <v_q </math>, on a :
#::<math>\frac{a}{q!}<\frac{p}{q}<\frac{a}{q!}+\frac{1}{q.q!} \Longleftrightarrow a<p.(q-1)!<a+\frac{1}{q}\leq a+1</math>