« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions
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→Applications : Plus honnête. Mais à mon avis, le second point est hors sujet et devrait être remplacé par un simple lien |
→Applications : oups : plus exact, car le lien démontre seulement que n!(e-u_n)<e/(n+1), mais c'est largement suffisant |
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Ligne 53 :
##::<math>\forall n\in\N\quad u_n=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}</math>
##:converge et que sa limite <math>\ell</math> vérifie
##::<math>\forall n\in\N^*\quad
##:(dans [[Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e]], on a démontré non seulement cela, mais le fait que cette limite <math>\ell</math> est égale au nombre {{nobr|<math>\mathrm e</math>) ;}}
##déduire de cet encadrement que <math>\ell\notin\Q</math>.
Ligne 65 :
#:Ainsi, <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont bien adjacentes et le premier point est démontré.
#*Montrons alors que leur limite commune <math>\ell</math> est irrationnelle. Il est usuel, pour un montrer qu'un nombre est irrationnel, de raisonner par l'absurde, et c’est précisément ce que nous allons faire ici.
#:Supposons donc que <math>\ell\in\Q</math>, c'est-à-dire qu'il existe <math>(p,q)\in\Z\times\N^*</math>
#:On a <math>u_q=\sum_{k=0}^q\frac1{k!}</math>, et l'on en déduit, en réduisant au même dénominateur, que <math>q!\
#:
#::<math>\
#:
#Pour la seconde application, on va étudier l'approximation décimale d'un nombre réel.
#:Soit <math>a\in \R</math>. On définit les deux suites suivantes :
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