« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions

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→‎Applications : Preuve d'irrationalité de e mieux placée dans Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e car on y prouve là-bas que \ell=e, ainsi que d'autres façons d'obtenir cet encadrement
m →‎Applications : ortho + rectif preuve 2e appli
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#:Soit <math>a\in \R</math>. On définit les deux suites suivantes :
#:<math>\forall n \in \N,\ u_n=10^{-n}E(10^na),\ v_n=10^{-n}(E(10^na)+1)</math> où <math>E</math> désigne la partie entière.
#:On appelle <math>(u_n)</math> l'approximation par défaut de <math>a</math> et <math>(v_n)</math> l'approximation par excès. Ces deux suites donnedonnent les <math>n</math> premiers chiffres après la virgule de <math>a</math>.
#:On a : <math>v_n-u_n=10^{-n} \to 0</math>. Il faut donc montrer que <math>(u_n)</math> (resp. <math>(v_n)</math>) est croissante (resp. décroissante).
#:Soit <math>n\in \N</math>. Par définition de la partie entière, on a : <math>\left\{ \begin{arraycases}{l} E(10^na)\leq 10^na<E(10^na)+1 \\ E(10^{n+1}a)\leq 10^{n+1}a<E(10^{n+1}a)+1 \end{arraycases}\right.</math>
#:On en déduit que : <math>\left\{ \begin{array}{lcases} 10E(10^na)\leq 10^{n+1}a<E(10^{n+1}a)+1
\\ E(10^{n+1}a)\leq 10^{n+1}a < 10\left(E(10^na)+1\right)\end{arraycases}\right.</math>.
#:Comme les nombres <math>10E(10^na),\ E(10^{n+1}a)+1,\ E(10^{n+1}a),\ 10\left(E(10^na)+1\right)</math> sont des nombres entiers, on en déduit :
#::<math>\left\{ \begin{array}{lcases}10E(10^na) \leq E(10^{n+1}a)+1 \\ E(10^{n+1}a) +1\leq 10\left(E(10^na)+1\right)\end{arraycases}\right.</math>.
#:Et finalement, en multipliant les deux inéquations par <math>10^{-(n+1)}</math>, on a bien montré que <math>u_n \leq u_{n+1}</math> et <math>v_{n+1} \leq v_n</math>.
#:Les suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont donc adjacentes et convergent donc vers une même limite que l'on notera <math>l</math>. Or, on a : <math>\forall n\in \N,\ u_n\leq a \leq v_n</math>, ce qui permet de conclure que <math>l=a</math> par passage à la limite.
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#:On a : <math>\forall n \in \N,\ b_n-a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}</math>, et on obtient par une récurrence directe : <math> \forall n\in \N,\ b_n-a_n=\frac{a_0+b_0}{2^n}</math>. Et donc <math>b_n-a_n \to 0</math>, ce qui prouve que les suites sont adjacentes, et converge vers une même limite <math>l</math>. Or, on a : <math>\forall n\in \N,\ a_n \leq c \leq b_n</math>, et donc en passant à la limite on obtient <math>l=c</math>, et les deux suites convergent donc vers <math>c</math>.
#:Finalement, en observant que : <math>\forall n\in \N,\ 0\leq c-a_n \leq b_n-a_n \leq \frac{b-a}{2^n}</math>. Ceci montre que <math>a_n</math>et <math>b_n</math>sont des valeurs approchées de <math>c</math> à <math>\frac{b-a}{2^n}</math> près.
#La dernière application est l'un des théorèmes fondamentaux sur la toplogie de <math>\R</math>, : le théorème des segments emboîtés. Sa démonstration est directe par application du théorème des suites adjacentes. Il permet, en particulier, de démontrer un autre résultat fondamental : le [[../Suites extraites#Théorème de Bolzano-Weierstrass|théorème de Bolzano-Weierstrass]].
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{{Théorème
|titre= Théorème des segments emboîtés