« Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques » : différence entre les versions
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m →Le cas général : màj |
→Le cas général : plus méthodique |
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{{Théorème|contenu=Soient <math>a</math> et <math>b</math> deux nombres fixés. Une suite <math>(u_n)</math> vérifie
:<math>\forall n\in\N\quad u_{n+1}=
si et seulement si
:<math>\forall n\in\N\quad u_n=a^nu_0
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
*Si la suite <math>(u_n)</math> vérifie
:<math>a\left[a^nu_0 +b\sum_{i=0}^{n-1} a^i\right]+b=a^{n+1}u_0+b\left(\sum_{i=0}^{n-1} a^{i+1}\right)+b=a^{n+1}u_0+b\sum_{j=0}^na^j</math>▼
*:alors, en posant <math>
*:<math>\forall n\in\N\quad v_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_n+b)=a(u_{n+1}-u_n)=av_n</math>
*:donc <math>(v_n)</math> est géométrique de raison <math>a</math> et de premier terme
▲:<math>\forall n\in\N\quad au_n+ b=u_{n+1}\quad(**)</math>
*::<math>v_0=u_1-u_0=au_0+b-u_0=(a-1)u_0+b</math>,
*:si bien que pour tout <math>n\in\N</math> (y compris pour <math>n=0</math>, une [[w:Somme vide|somme vide]] étant nulle par définition) :
*::<math>u_n=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}v_i=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}a^iv_0=\left[1+(a-1)\sum_{i=0}^{n-1}a^i\right]u_0+b\sum_{i=0}^{n-1}a^i</math>,
*:c'est-à-dire
*::<math>\forall n\in\N\quad u_n=a^nu_0+b\sum_{i=0}^{n-1}a^i\quad(**)</math>.
*Réciproquement, si <math>(u_n)</math> vérifie <math>(**)</math> alors, pour tout <math>n\in\N</math>,
▲*::<math>
*:donc <math>(u_n)</math> vérifie <math>(*)</math>.
}}
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