« Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques » : différence entre les versions
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{{Théorème|contenu=Soient <math>a</math> et <math>b</math> deux nombres fixés. Une suite <math>(u_n)</math> vérifie
:<math>\forall n\in\N\quad u_{n+1}=au_n+
si et seulement si
:<math>\forall n\in\N\quad u_n=a^nu_0+b\sum_{i=0}^{n-1}a^i</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
*
*:
*:si et seulement si
*:<math>\forall n\in\N\quad v_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_n+b)=a(u_{n+1}-u_n)=av_n</math>▼
*::<math>u_1=au_0+b</math> et <math>\forall n\in\N\quad\left(u_{n+1}=au_n+b\Rightarrow u_{n+2}=au_{n+1}+b\right)</math>,
*:c.-à-d. si
▲*::<math>v_0=(a-1)u_0+b</math> et <math>\forall n\in\N\quad
*:si bien que pour tout <math>n\in\N</math> (y compris pour <math>n=0</math>, une [[w:Somme vide|somme vide]] étant nulle par définition) :▼
*:ce qui se réécrit :
*::<math>u_n=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}v_i=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}a^iv_0=\left[1+(a-1)\sum_{i=0}^{n-1}a^i\right]u_0+b\sum_{i=0}^{n-1}a^i</math>,▼
*::<math>v_0=(a-1)u_0+b</math> et <math>\forall n\in\N\quad v_{n+1}=av_n</math>,
*:ou encore (cf. [[Introduction aux suites numériques/Suites géométriques|Suites géométriques]]) :
*::<math>\forall n\in\N\quad v_n=a^n\left[(a-1)u_0+b\right]\quad(*)</math>.
▲*
▲*::<math>u_n=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}v_i=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}a^
*:c'est-à-dire
*::<math>\forall n\in\N\quad u_n=a^nu_0+b\sum_{i=0}^{n-1}a^i\quad(**)</math>.
*
}}
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