« Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques » : différence entre les versions

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{{Théorème|contenu=Soient <math>a</math> et <math>b</math> deux nombres fixés. Une suite <math>(u_n)</math> vérifie
:<math>\forall n\in\N\quad u_{n+1}=au_n+ b</math>
si et seulement si
:<math>\forall n\in\N\quad u_n=a^nu_0+b\sum_{i=0}^{n-1}a^i</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
*Si la suitePosons <math>(v_n=u_{n+1}-u_n)</math> vérifie.
*::La suite <math>\forall n\in\N\quad u_{n+1}=au_n+b\quad(*u_n)</math>, vérifie
*:alors, en posant :<math>v_n=\forall n\in\N\quad u_{n+1}-u_n=au_n+b</math>, on obtient
*:si et seulement si
*:<math>\forall n\in\N\quad v_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_n+b)=a(u_{n+1}-u_n)=av_n</math>
*::<math>u_1=au_0+b</math> et <math>\forall n\in\N\quad\left(u_{n+1}=au_n+b\Rightarrow u_{n+2}=au_{n+1}+b\right)</math>,
*:donc <math>(v_n)</math> est géométrique de raison <math>a</math> et de premier terme
*:c.-à-d. si
*::<math>v_0=u_1-u_0=au_0+b-u_0=(a-1)u_0+b</math>,
*::<math>v_0=(a-1)u_0+b</math> et <math>\forall n\in\N\quad v_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_n+b)=a(u_{n+1}-u_n)=av_nau_n</math>,
*:si bien que pour tout <math>n\in\N</math> (y compris pour <math>n=0</math>, une [[w:Somme vide|somme vide]] étant nulle par définition) :
*:ce qui se réécrit :
*::<math>u_n=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}v_i=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}a^iv_0=\left[1+(a-1)\sum_{i=0}^{n-1}a^i\right]u_0+b\sum_{i=0}^{n-1}a^i</math>,
*::<math>v_0=(a-1)u_0+b</math> et <math>\forall n\in\N\quad v_{n+1}=av_n</math>,
*:ou encore (cf. [[Introduction aux suites numériques/Suites géométriques|Suites géométriques]]) :
*::<math>\forall n\in\N\quad v_n=a^n\left[(a-1)u_0+b\right]\quad(*)</math>.
*:siSi bien<math>(v_n)</math> quevérifie <math>(*)</math> alors, pour tout <math>n\in\N</math> (y compris pour <math>n=0</math>, une [[w:Somme vide|somme vide]] étant nulle par définition) :
*::<math>u_n=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}v_i=u_0+\sum_{i=0}^{n-1}a^iv_0=i\left[1+(a-1)u_0+b\sum_{iright]=0}u_0+(a^{n-1}a^i\right])u_0+b\sum_{i=0}^{n-1}a^i</math>,
*:c'est-à-dire
*::<math>\forall n\in\N\quad u_n=a^nu_0+b\sum_{i=0}^{n-1}a^i\quad(**)</math>.
*Réciproquement:La réciproque, si <math>(u_n**)</math> vérifie <math>\Rightarrow(**)</math> alors, pourest tout <math>n\in\N</math>,immédiate.
*::<math>au_n+b=a^{n+1}u_0+b\left(\sum_{i=0}^{n-1}a^{i+1}\right)+b=a^{n+1}u_0+b\sum_{j=0}^na^j</math>
*:donc <math>(u_n)</math> vérifie <math>(*)</math>.
}}