« Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques » : différence entre les versions

:<math>u_n = a^nu_0 + a^{n-1}b + \ldots + ab + b</math>.

 

*si <math>n=0</math>, notre formule devient <math>u_0=a^nu_0+0</math> (une [[w:Somme vide|somme vide]] étant nulle par définition) donc elle est toujours vérifiée (y compris si <math>a=0</math>, avec la [[w:Zéro puissance zéro|convention usuelle 0{{exp|0}} = 1]]) ;

* si <math>a=0</math>, elle équivaut, pour tout <math>n>0</math>, à : <math>u_n=b</math> ;

*si <math>a=1</math>, elle donne :

 

Est-ce bon dans le cas général ?

 

Réécrivons la formule précédente sous une forme plus compacte :

et démontrons qu'elle caractérise bien les suites arithmético-géométriques de paramètres <math>a</math> et <math>b</math>.

 

 

Si <math>a\ne1</math>, la somme de droite du théorème est une [[Introduction aux suites numériques/Suites géométriques#Somme des termes d'une suite géométrique|somme géométrique]], que l’on sait donc calculer :

 

Par conséquent :