« Axiomes de Peano » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
m Robot : Remplacement de texte automatisé (-c.-à-d. +c'est-à-dire)
 
Ligne 26 :
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Il suffit de montrer par récurrence, c.'est-à-d.dire à l'aide de l'axiome (P5), que pour tout <math>n\in\N</math>, il existe une unique suite finie <math>u^n=\left(u^n_k\right)_{0\le k\le n}</math> satisfaisant les deux points ; la suite <math>u=\left(u_k\right)_{k\in\N}</math> définie par : <math>u_k=</math> la valeur commune <math>u^n_k</math> pour tous les <math>n\ge k</math> sera alors l'unique suite infinie satisfaisant les deux points.
*L'existence et l'unicité de <math>u^0</math> sont immédiates.
*Supposons l'existence et l'unicité de <math>u^n</math> et montrons celles de <math>u^{S(n)}</math>. Une suite <math>v=\left(v_k\right)_{0\le k\le S(n)}</math> vérifie les deux points si et seulement si sa restriction à <math>\{0,\dots,n\}</math> les vérifie c.'est-à-d.dire est égale à <math>u^n</math> et de plus, <math>v_{S(n)}=f(v_n)</math> c.'est-à-d.dire <math>v_{S(n)}=f(u^n_n)</math>.
}}
On en déduit la généralisation suivante :
Ligne 76 :
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
Toutes les démonstrations se font par récurrence, c.'est-à-d.dire à l'aide de l'axiome (P5).
*<math>\forall m,n,p\in\N\quad(m+n)+p=m+(n+p)</math>. Démonstration par récurrence sur <math>p</math>, pour <math>m</math> et <math>n</math> fixés.
**L'initialisation est immédiate.