« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

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Robot : Remplacement de texte automatisé (-c.-à-d. +c'est-à-dire)
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#*<math>\|\cdot\|_1</math> est même une norme sur l'espace des fonctions [[Intégration (mathématiques)|intégrables]] de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>, dont <math>\R[X]</math> s'identifie à un sous-espace.
#*<math>P\mapsto|P(0)|+\|P'\|_1</math> est une semi-norme (c.'est-à-d.dire qu'elle est positivement homogène et sous-additive) car les deux applications dont elle est la somme sont semi-normes. En effet, plus généralement, la composée d'une semi-norme et d'une application linéaire est une semi-norme. De plus, si <math>|P(0)|+\|P'\|_1=0</math> alors <math>P(0)=0</math> et <math>P'=0</math> donc <math>P=P(0)=0</math>.
#*<math>\|\cdot\|_\infty</math> est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>. En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0.
#C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si <math>P\in\R_n[X]</math> a <math>n+1</math> racines distinctes alors <math>P=0</math>.
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