« Matrice/Inverse » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Robot : Remplacement de texte automatisé (-c.-à-d. +c'est-à-dire) |
m Bot: Mise à jour des codes texvc par des équivalentes LaTeX (documentation) |
||
Ligne 9 :
{{Wikipédia|Matrice inversible}}
Nous avons défini le produit matriciel et constaté qu'il n'était ni commutatif, ni ''[[Loi (mathématiques)/Loi interne#Élément simplifiable|simplifiable]]'' à gauche ou à droite. Comme annoncé alors, nous allons voir dans ce chapitre que cependant, certaines matrices ''carrées'' sont simplifiables (des deux côtés) et même '''''[[Théorie des groupes/Lois de composition internes, monoïdes#Loi de composition interne|inversibles]]''''', sous réserve que l'anneau ''K'' soit un ''[[Corps (mathématiques)/Définitions#Corps|corps commutatif]]'' (comme <math>\Q</math>, <math>\R</math> ou <math>\
== Exemple motivant ==
Ligne 57 :
Cette condition nécessaire d'inversibilité n'est suffisante que lorsque ''K'' est un corps commutatif. Si ''K'' est seulement un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] commutatif, la condition <math>\det M\ne0</math> est à remplacer par : <math>\det M</math> est inversible dans ''K''. Par exemple dans <math>\mathrm M_n(\Z)</math>, les matrices inversibles ne sont pas toutes les matrices de déterminant non nul, mais seulement celles dont le déterminant est égal à <math>\pm1</math>.
Cette caractérisation des matrices inversibles permet de démontrer que dans <math>\mathrm M_n(\R)</math> et dans <math>\mathrm M_n(\
*le sous-ensemble des matrices inversibles est dense (cf. [[Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie#Exercice 2-2 : densité de GLn]]) ;
*son complémentaire est [[w:Ensemble négligeable|négligeable]], c'est-à-dire de [[w:Mesure de Lebesgue|mesure de Lebesgue]] nulle<ref>{{Lien web|auteur=Alexandre Bailleul|titre=Mesure de M{{ind|''n''}}('''R''')\GL{{ind|''n''}}('''R''')|url=http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~abailleu/divers/compGLn.pdf|site=perso.eleves.[[w:École normale supérieure de Rennes|ens-rennes]].fr/~abailleu/}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|auteur=Boris Mityagin|titre=The zero set of a real analytic function|revue=[[w:arXiv|arXiv]]|year=2015|url=https://arxiv.org/abs/1512.07276}}.</ref>.
| |||