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« Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe » : différence entre les versions

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Ligne 14 :
| contenu =
L'exponentielle complexe est définie par :
:<math>\forall z\in\CComplex\quad\exp(z)=\operatorname e^z=\sum_{m=0}^{\infty}{\frac{z^m}{m!}}</math>
et holomorphe sur <math>\CComplex</math>.
}}
 
{{Attention|Avec_fond=non|Contrairement à l'exponentielle réelle l'exponentielle complexe n’est pas injective dans <math>\CComplex</math> puisque <math>\forall k\in\Z\quad\operatorname e^z=\operatorname e^{z+2k\mathrm i\pi}</math>.}}
 
Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans <math>\CComplex</math> comme un logarithme dans <math>\R</math>
 
== Fonctions hyperboliques ==
Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à <math>\CComplex</math> :
 
<math>\cosh z=\frac{\operatorname e^z+\operatorname e^{-z}}2,\quad\cos z=\frac{\operatorname e^{z\mathrm i}+\operatorname e^{-z\mathrm i}}2=\cosh(\mathrm iz)</math>
Ligne 31 :
== Propriétés de l'exponentielle complexe ==
 
<math>\forall\; z,w\in \CComplex</math> :
*<math>\exp(z+w)=\exp(z)\exp(w)</math> ;
*<math>\forall n \in \Z\; \exp(z)^n=\exp(nz)</math> ;
Ligne 44 :
| titre = Définition de la fonction argument
| contenu =
<math>\forall \; z=x+\mathrm iy\; \in\CComplex\setminus\R_-</math> on a :
:<math>\operatorname{Arg}(x +\mathrm iy) =
\begin{cases}
Ligne 55 :
}}
 
On constate que cette fonction Arg(''z'') n’est pas prolongeable continument aux <math>z\in\left]-\infty,0\right[</math>, car si elle était définie sur <math>\CComplex\setminus\{0\}</math>, on aurait un saut de <math>2\pi</math> et elle serait alors discontinue sur son ouvert de définition.
 
On appelle cette fonction '''détermination principale de l'argument'''.
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| titre = Définition du logarithme complexe
| contenu ={{Wikipédia|Logarithme complexe}}
On définit sur <math>\Omega=\CComplex\setminus\R_-</math>
la fonction <math>\mathrm{Log}</math>, qu'on appellera '''détermination principale du logarithme complexe''' par :
 
<math>\mathrm{Log}: \Omega \to\CComplex,\quad z\mapsto\ln(|z|)+\mathrm i \,\operatorname{Arg}\left(z\right)</math>
 
où <math>\ln</math> désigne le logarithme népérien réel usuel.
Ligne 104 :
| titre = Puissance généralisée (<math>z^\alpha</math>)
| contenu =
Soit <math>\alpha \in \CComplex</math> et <math>z \in\CComplex\setminus\R_-</math>, on appelle '''puissance généralisée''' (ou '''détermination/branche principale''') de <math>z^\alpha</math> la fonction définie par : <math>z^\alpha=\exp(\alpha\operatorname{Log}(z))</math>
}}
 
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