« Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy » : différence entre les versions

Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur un ouvert <math>\Omega\subset\CComplex</math> et soit un disque fermé <math>\bar D(z_0,r)\subset\Omega</math>, de bord le cercle <math>\gamma_r=r\operatorname e^{\mathrm it}+z_0,\;t \in [0,2\pi]</math>. Alors, pour tout <math>z\in\Omega\setminus\gamma_r</math> :

Si une suite <math>(f_n)_n</math> de fonctions holomorphes converge vers une fonction <math>f</math>, [[Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions#Convergence uniforme|uniformément]] sur tout compact d'un ouvert <math>\Omega\subset\CComplex</math>, alors <math>f</math> est holomorphe sur <math>\Omega</math> et pour tout <math>m\in\N</math>, la suite <math>(f_n^{(m)})_n</math> des dérivées converge vers <math>f^{(m)}</math>, uniformément sur tout compact de <math>\Omega</math>.