« Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre » : différence entre les versions

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{{Théorème
| contenu=
'''Dans le cas particulier où le second membre <math>c</math> est également constant''', l'ensemble des solutions de l'équation complète <math>af'\left(x\right) + bf\left(x\right) =c</math> est : <math>S = \left \{ Ae^{-\frac bax} + \frac cb\mid A\in\CComplex \right \}</math>.
}}
(C'est en particulier le cas si l'équation est homogène : <math>c=0</math>.)
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| titre=Solutions de l'équation homogène|contenu=
L'ensemble des solutions de l'équation homogène <math>a\left(x\right) f'\left(x\right) + b\left(x\right)f\left(x\right) = 0</math> est :
<math>\left\{ A\mathrm e^{-\Phi \left(x \right)}\mid A \in\CComplex\right\}</math>
 
où <math>\Phi</math> est une [[Intégration en mathématiques/Primitives|primitive]] de la fonction <math>\frac ba</math>.}}
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Pour <math>x_0</math> fixé, l'ensemble des solutions générales de l'équation différentielle d'ordre 1 est :
 
<math>\left \{ \left[ A + \int_{x_0}^x\frac{c\left(s\right)}{a\left(s\right)}\operatorname e^{+\Phi\left(s\right)}\, \mathrm ds \right]\operatorname e^{- \Phi \left( x \right)}\mid A \in\CComplex \right \}</math>
 
où <math>\Phi</math> est une primitive de la fonction <math>\frac ba</math>.