« Fonctions d'une variable complexe/Développement en séries entières » : différence entre les versions

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| titre = Fonction analytique en un point
| contenu ={{Wikipédia|Fonction analytique}}
Une fonction <math>f :\CComplex\to\CComplex</math> est dite analytique en un point <math>z_0\in \CComplex</math> si elle admet un développement en série entière autour de ce point : <math>f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}a_m(z-z_0)^m</math>.
}}
 
| titre = Fonction analytique
| contenu =
Une fonction <math>f :\Omega \subset \CComplex\to\CComplex</math> est dite analytique sur son domaine <math>\Omega</math>, si elle est analytique en tous les points de son domaine.}}
 
== Théorème de Taylor ==
{{Théorème
| titre=Théorème de Taylor|contenu=
Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur un ouvert <math>\Omega\subset\CComplex</math>. Alors, sur tout disque <math>D(z_0,R)\subset\Omega</math>, on a
<div style="text-align: center;"><math>f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{f^{(m)}(z_0)}{m!}(z-z_0)^m</math>.</div>
}}
{{Corollaire|titre=Corollaire 1 : fonctions entières|contenu={{Wikipédia|Fonction entière}}
Si <math>f</math> est une fonction entière, c'est-à-dire holomorphe sur <math>\CComplex</math>, alors sa série de Taylor en tout point a un rayon de convergence infini.
}}
{{Corollaire|titre=Corollaire 2 : unicité du prolongement analytique|contenu={{Wikipédia|Prolongement analytique}}
Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur un ouvert '''[[Topologie générale/Connexité|connexe]]''' <math>\Omega\subset\CComplex</math>. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
*<math>f</math> est la fonction nulle ;
*il existe un point <math>z_0\in\Omega</math> en lequel <math>f</math> et toutes ses dérivées sont nulles ;
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