« Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass » : différence entre les versions

Les fonctions entières sont les fonctions qui sont holomorphes sur <math>\CComplex</math> telles que l'exponentielle complexe,les fonctions polynômes, les fonctions sinus et cosinus ainsi que les fonctions hyperboliques. Comme nous le verrons au prochain chapitre, ces fonctions sont des cas particuliers des fonctions analytiques ,c'est-à-dire des fonctions développables en série au voisinage d'un point de <math>\CComplex</math>.

Ce théorème permet de déterminer les fonctions holomorphes sur <math>\CComplex</math> qui sont polynomiales, il permet aussi de montrer le théorème fondamental de l'algèbre avec une remarquable simplicité.

Si <math> f</math> est holomorphe dans <math>\CComplex</math> et s'il existe <math>N \in \N</math> et <math>C>0</math> tels que: <math>|f(z)|\leq C(1+|z|)^N\; \; \forall z \in \CComplex</math>,

Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de <math>\CComplex</math> dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante.

*Si <math>f</math> est holomorphe sur l'ouvert <math>\Omega \subset \CComplex</math> connexe et s'il existe <math>z_0\in \Omega</math> tel que <math>|f(z_0)|\ge|f(z)| \; \; \forall z</math> dans un voisinage de <math>z_0</math> (<math>|f|</math> admet un maximum local dans <math>\Omega</math>) alors <math>f</math> est constante dans <math>\Omega</math>.