« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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== Exercice 1-1 ==
Trouver tous les polynômes <math>P\in\CComplex[X]</math> tels que <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)</math>.
 
{{Solution|contenu=
Finalement, les seules racines possibles de <math>P</math> sont <math>0</math> et <math>1</math>.
 
Soit <math>P=aX^p(X-1)^q</math> avec <math>p,q\in\N</math> et <math>a\in\CComplex^*</math>. Alors, <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)\Leftrightarrow aX^{2p}(X-1)^{2q}=a^2X^p(X-1)^q(X+1)^pX^q\Leftrightarrow a=1\text{ et }p=q</math>.
 
Les solutions sont donc : <math>P=0</math> ou <math>P(X)=(X^2-X)^n\text{ avec }n\in\N</math>.
 
== Exercice 1-2 ==
Déterminer les polynômes <math>P\in\CComplex[X]</math> tels que <math>XP(X+1)=(X+4)P(X)</math>.
{{Solution|contenu=
Puisque <math>X</math> est premier avec <math>X+4</math>, un polynôme <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=XQ</math> pour un <math>Q\in\CComplex[X]</math> tel que <math>X(X+1)Q(X+1)=(X+4)XQ(X)</math>, c'est-à-dire <math>(X+1)Q(X+1)=(X+4)Q(X)</math>.
 
De même, <math>Q</math> est solution de l'équation précédente si et seulement si <math>Q=(X+1)R</math> pour un <math>R\in\CComplex[X]</math> tel que <math>(X+1)(X+2)R(X+1)=(X+4)(X+1)R(X)</math>, c'est-à-dire <math>(X+2)R(X+1)=(X+4)R(X)</math>.
 
Et ainsi de suite. Finalement, <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=X(X+1)(X+2)(X+3)T</math> pour un <math>T\in\CComplex[X]</math> tel que <math>T(X+1)=T(X)</math>.
 
Les solutions <math>P</math> sont donc les polynômes de la forme <math>aX(X+1)(X+2)(X+3)</math> avec <math>a\in\CComplex</math>.
}}
 
#<math>P</math> a une unique réelle <math>\alpha</math> ;
#<math>\alpha<-1</math>.
#Soient <math>\beta,\gamma\in\CComplex</math> les deux autres racines de <math>P</math>. Exprimer <math>\beta+\gamma</math> et <math>\beta\gamma</math> en fonction de <math>\alpha</math>.
#En déduire que <math>|\beta|=|\gamma|<1</math>.
#Calculer <math>\alpha^2+\beta^2+\gamma^2</math>.
== Exercice 1-4 ==
Soit <math>P\in\R[X]</math> tel que <math>\forall x\in\R\quad P(x)\ge0</math>. Montrer qu'il existe <math>A,B\in\R[X]</math> tels que <math>P=A^2+B^2</math>.
{{Solution|titre=Indication|contenu=On pourra chercher à factoriser <math>P</math> dans <math>\CComplex[X]</math> sous la forme <math>P=Q\overline Q</math>.}}
{{Solution|contenu=
<math>P\in\R[X]</math> est ''a priori'' le produit dans <math>\R[X]</math> d'un polynôme <math>Q</math> scindé et d'un polynôme unitaire <math>R</math> à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors <math>R(\R)>0</math> donc (puisque <math>P(\R)\ge0</math>) <math>Q(\R)\ge0</math>. Par conséquent, toutes les racines de <math>Q</math> sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que <math>Q</math> est le carré d'un polynôme <math>S\in\R[X]</math>. <math>R</math> étant pour sa part de la forme <math>T\overline T</math> avec <math>T\in\CComplex[X]</math>, on obtient : <math>P=Q\overline Q</math>, avec <math>Q=ST\in\CComplex[X]</math>. En décomposant <math>Q</math> sous la forme <math>A+\mathrm iB</math> avec <math>A,B\in\R[X]</math>, on conclut : <math>P=A^2+B^2</math>.
}}
{{Wikipédia|Dix-septième problème de Hilbert}}
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