« Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices » : différence entre les versions

L'ensemble <math>K</math> est un corps commutatif, <math>\R</math> ou <math>\CComplex</math> et <math>K^{n,m}</math>, l'espace vectoriel des matrices à <math>n</math> lignes et <math>m</math> colonnes à coefficients dans <math>K</math>. Si <math>\mathbf A\in K^{n,m}</math> a pour coefficients <math>a_{ij}</math>, on notera :

Lorsque <math>m=n</math> et <math>\mathbf A\in\CComplex^{n,n}</math>, si <math>\lambda_i</math>, <math>i=1,\ldots,n</math> sont les valeurs propres dans <math>\CComplex</math> de <math>\mathbf A</math> alors le ''rayon spectral'' de <math>\mathbf A</math> est :

<math>\mathbf A\in\CComplex^{n,n}</math> est dite

*''positive'' si <math>\forall x\in\CComplex^n:\quad(\mathbf Ax,x)\ge0</math> ;

*''définie positive'' si <math>\forall x\in\CComplex^n,\quad x\neq 0:\quad(\mathbf{A}x,x)\geqslant 0</math> ;

La matrice <math>\mathbf I</math> désigne la matrice identité dans <math>\CComplex^{n,n}</math>.

* une matrice <math>\mathbf A\in\CComplex^{n,n}</math> [[Espace préhilbertien complexe/Espaces hermitiens|hermitienne]], c'est-à-dire telle que <math>\mathbf A=\mathbf A^*</math>, a toutes ses valeurs propres réelles et il existe une base de <math>\CComplex^n</math> de vecteurs propres de <math>\mathbf A</math> : <math>\mathbf A</math> est donc diagonalisable. En particulier, une matrice réelle symétrique a toutes ses valeurs propres réelles ;

* pour une matrice <math>\mathbf A\in\CComplex^{n,n}</math>, il existe une matrice inversible <math>\mathbf P\in\CComplex^{n,n}</math> telle que la matrice <math>\mathbf B=\mathbf P^{-1}\mathbf A\mathbf{P}</math> soit diagonale par blocs, chaque bloc étant une sous-matrice de Jordan <math>\mathbf J_p</math> d'ordre <math>n_p</math>, c'est-à-dire telle que :