« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

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== Exercice 2-1==
Soit <math>A\in\operatorname M_n(\CComplex)</math>. Montrer que [[Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice|son exponentielle]] est un [[Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes|polynôme en <math>A</math>]] ou plus généralement, que <math>f(A)\in\CComplex[A]</math> pour toute [[Fonctions d'une variable complexe|fonction <math>f</math> d'une variable complexe]] développable en [[série entière]] en <math>0</math>, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|norme subordonnée]] de <math>A</math> (pour une norme arbitraire fixée sur <math>\CComplex^n</math>).
 
{{Solution|contenu=Par définition, <math>f(A)</math> est une limite de polynômes en <math>A</math> (les sommes partielles de la série entière). Puisque <math>\operatorname M_n(\CComplex)</math> est de dimension finie, le sous-espace vectoriel <math>\CComplex[A]</math> est fermé.
}}
 
== Exercice 2-2 : densité de GL{{ind|''n''}}==
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\CComplex</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense.
{{Solution|contenu=
Soit <math>A\in\mathrm M_n(\CComplex)</math>. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>k>N</math>, <math>A-\frac1k\mathrm I_n\in\mathrm{GL}_n(K)</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est adhérent à <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>.
}}
 
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