« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions

Soit <math>A</math> une partie dense sur laquelle <math>f</math> est uniformément continue. Soit <math>\varepsilon</math> un réel strictement positif ; l'uniforme continuité de <math>f</math> sur <math>A</math> fournit un réel <math>\delta>0</math> tel que<div style="text-align: center;"><math>\forall x,y\in A\quad\left[d\left(x,y\right)<\delta\Rightarrow d'\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon\right].</math></div>Soient <math>x</math> et <math>y</math> deux éléments de <math>E</math> à une distance strictement inférieure à <math>\delta</math> l'un de l'autre et soit <math>\left(a_n\right)</math> (resp.respectivement <math>\left(b_n\right)</math>) une suite d'éléments de <math>A</math> convergeant vers <math>x</math> (resp.respectivement <math>y</math>). On a donc<div style="text-align: center;"><math>\lim_{n\to\infty}d\left(a_n,b_n\right)=d\left(x,y\right)<\delta,</math></div>si bien que pour <math>n</math> suffisamment grand, <math>d\left(a_n,b_n\right)<\delta</math> et par conséquent <math>d'\left(f(a_n),f(b_n)\right)<\varepsilon</math> donc (par passage à la limite) <math>d'\left(f(x),f(y)\right)\le\varepsilon</math>.