« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions

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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte comme un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornébornée et atteindra ses bornes. Cela les rendsrend fondamentaux en analyse car ils permettent souvent de simplifier des raisonnements.
 
Nous verrons également comment les choses se simplifient dans le cas où les espaces considérés sont de dimension finie. En particulier, nous verrons que :
*les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie sont simples à caractériser ;
 
- que *les compactsapplications d'unlinéaires espaceentre vectorielespaces de dimension finie sont simples à caractériser,automatiquement continues.
 
- que les applications linéaires entre espace de dimension finie sont automatiquement continue.
 
Finalement, nous verrons le théorème de Riesz qui relie des informations de nature topologique (la compacité de la boule unité fermée) avec des informations algébriques (le fait d'être de dimension finie).
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== EspaceEspaces vectoriels normés de dimension finie ==
{{Wikipédia|Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie}}
 
===Premiers résultats ===
{{Proposition
| contenu =
Soit <math>E</math> un espace vectoriel de dimension finie sur <math>\R</math>. Toutes les normes sur <math>E</math> sont équivalentes.
}}
 
{{Proposition
| contenu=
Soient <math>(E,\|\cdot\|_E)</math> et <math>(F,\|\cdot\|_F)</math> deux espaces vectoriels normés de dimension finie, et <math>f\ :\ E\to F</math> une application linéaire. AlorsSi <math>E</math> est de dimension finie, alors <math>f</math> est continue.
}}
 
{{Proposition
| contenu=
Soient <math>(E,\|\cdot\|)</math> un espace vectoriel normé de dimension finie,réel et <math>F</math> un sous-espace vectoriel de <math>E</math> de dimension finie. Alors, <math>F</math> est complet, et donc fermé dans <math>E</math>. En particulier, tout espace vectoriel normé réel de dimension finifinie est complet.
}}
 
===Compacité et dimension finie ===
{{Proposition
| contenu={{Wikipédia|Théorème de Borel-Lebesgue}}
Une partie <math>X</math> d'un espace vectoriel normé <math>(E,\|\cdot\|)</math>réel de dimension finie est compacte si (et seulement si) elle c'est une partie fermée et bornée.
}}
Réciproquement :
{{Théorème
| titre = Théorème de Riesz
| contenu ={{Wikipédia|Lemme de Riesz#Théorème de Riesz|Théorème de Riesz}}
| contenu =
Un espace vectoriel normé <math>(E,\|\cdot\|)</math>réel est de dimension finie si (et seulement si) lasa boule unité fermée est compacte.
}}
 
{{Proposition
| contenu=
Une partie <math>X</math> d'un espace vectoriel normé <math>(E,\|\cdot\|)</math> est compacte si et seulement si c'est une partie fermée et bornée.
}}