« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions
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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte comme un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera
Nous verrons également comment les choses se simplifient dans le cas où les espaces considérés sont de dimension finie. En particulier, nous verrons que :
*les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie sont simples à caractériser ;
Finalement, nous verrons le théorème de Riesz qui relie des informations de nature topologique (la compacité de la boule unité fermée) avec des informations algébriques (le fait d'être de dimension finie).
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==
{{Wikipédia|Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie}}
===Premiers résultats ===
{{Proposition
| contenu =
Soit <math>E</math> un espace vectoriel de dimension finie sur <math>\R</math>. Toutes les normes sur <math>E</math> sont équivalentes.
}}
{{Proposition
| contenu=
Soient <math>(E,\|\cdot\|_E)</math> et <math>(F,\|\cdot\|_F)</math> deux espaces vectoriels normés
}}
{{Proposition
| contenu=
Soient <math>(E,\|\cdot\|)</math> un espace vectoriel normé
}}
===Compacité et dimension finie ===
{{Proposition▼
| contenu={{Wikipédia|Théorème de Borel-Lebesgue}}
Une partie
}}▼
Réciproquement :
{{Théorème
| titre = Théorème de Riesz
| contenu ={{Wikipédia|Lemme de Riesz#Théorème de Riesz|Théorème de Riesz}}
Un espace vectoriel normé
▲}}
▲{{Proposition
▲Une partie <math>X</math> d'un espace vectoriel normé <math>(E,\|\cdot\|)</math> est compacte si et seulement si c'est une partie fermée et bornée.
}}
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