« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions
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== Être ou ne pas être une application linéaire ?
Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
*<math>\begin{array}{ccccc}
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== Automorphisme
Montrer que l’application
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== Forme linéaire
Soient <math>a\le b</math> deux réels, <math>E</math> le <math>\R</math>-espace vectoriel des applications continues de <math>\left[a,b\right]</math> dans <math>\R</math>, et <math>\varphi\in E</math>.
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&=\lambda L(f)+L(g).
\end{align}</math>
}}
==Applications linéaires proportionnelles==
Soient <math>f,g\in\operatorname{L}\left(E,F\right)</math> telles que
:<math>\forall x\in E\quad\exists\lambda\in K\quad f(x)=\lambda g(x)</math>.
Montrer que <math>f</math> est la composée de <math>g</math> par une homothétie, c.-à-d. :
:<math>\exists\lambda\in K\quad\forall x\in E\quad f(x)=\lambda g(x)</math>.
{{Solution|contenu=
Le résultat étant immédiat si <math>g</math> est l'application nulle, supposons <math>g\ne0</math>.
Pour tout <math>x\in E</math> tel que <math>g(x)\ne0</math>, notons <math>\lambda_x</math> l'unique scalaire tel que <math>f(x)=\lambda_xg(x)</math>.
Soient <math>x,y\in E</math>, d'images non nulles par <math>g</math>.
*Si <math>\left(g(x),g(y)\right)</math> est libre alors <math>\lambda_x=\lambda_{x+y}=\lambda_y</math> car
*:<math>\lambda_xg(x)+\lambda_yg(y)=f(x)+f(y)=f(x+y)=\lambda_{x+y}g(x+y)=\lambda_{x+y}\left(g(x)+g(y)\right)=\lambda_{x+y}g(x)+\lambda_{x+y}g(y)</math>.
*Si <math>g(y)=\mu g(x)</math> (<math>\ne0</math>) alors <math>g(y-\mu x)=0</math> donc <math>f(y-\mu x)=0</math>, si bien que
*:<math>\lambda_y\mu g(x)=\lambda_yg(y)=f(y)=\mu f(x)=\mu\lambda_xg(x)</math>.
Dans les deux cas, on en déduit que <math>\lambda_x=\lambda_y</math>. Ainsi, tous les <math>\lambda_x</math> (pour <math>g(x)\ne0</math>) sont égaux à un même scalaire <math>\lambda</math>.
L'égalité <math>f(x)=\lambda g(x)</math> étant aussi vérifiée pour les <math>x</math> tels que <math>g(x)=0</math>, la conclusion s'ensuit.
}}
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