« Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2 » : différence entre les versions

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Ligne 33 :
 
==Exercice 2==
#Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par : <math>u_0 = u_1 = 1,\quad5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_n = 3</math>.<br>Exprimer <math>u_n</math> en fonction de ''n''. Quelle est la limite de <math>(u_n)</math> ?
#Soit <math>(v_n)</math> la suite définie par : <math>v_0 = 1, v_1 = -1,\quad\frac12 v_{n+1} - v_n = \frac23 \left( v_{n+2} - 5 \right)</math>. Exprimer <math>v_n</math> en fonction de ''n''.
* <math>u_0 = u_1 = 1 </math> ;
* <math>5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_n = 3</math>.
On définit également la suite <math>(v_n)</math> par :
* <math>v_0 = 1, v_1 = -1</math> ;
* <math>\frac12 v_{n+1} - v_n = \frac23 \left( v_{n+2} - 5 \right)</math>.
On note enfin <math>(w_n)</math> la suite définie par :
:<math>w_n = \frac{u_n - v_n}{u_n + v_n}</math>.
 
#Exprimer <math>u_n</math> et <math>v_n</math> en fonction de ''n'' ;
#Les suites ainsi définies convergent-t-elle ? Si oui, quelle est leur limite ?
#La quantité <math>w_n</math> est-elle définie pour tout ''n'' ?
#La suite <math>\left( w_n \right)_{n \in \mathbb N}</math> est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
#Que dire du module de cette suite ?
 
{{Solution
| titre = CalculSolution de (u<sub>n</sub>)la question 1
| contenu =
* On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine : <math>5t_{n+2}-4t_{n+1}-t_n=0</math>.
Ligne 68 ⟶ 56 :
\end{cases}\Leftrightarrow(\alpha,\beta)=\left ( \frac7{12},\frac5{12}\right )</math>.
Finalement : <math>\forall n \in \N\quad u_n=\frac7{12}+\frac5{12} \left (-\frac15 \right )^n+\frac n2</math>.
 
* <math>\forall n \in \N\quad u_n=\frac7{12}+\frac5{12} \left (-\frac15 \right )^n+\frac n2\ge\frac7{12}-\frac5{12}\frac15+\frac n2</math> donc <math>u_n\to+\infty</math>.
}}
 
{{Solution
| titre = CalculSolution de (v<sub>n</sub>)la question 2
| contenu =
* On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine : <math>4t_{n+2}-3t_{n+1}+6t_n=0</math>.
Ligne 85 ⟶ 75 :
-\frac{27}7=\frac{\sqrt6}2 \left(-\frac{13}7 \frac{\sqrt6}8+B\frac{\sqrt{58}}8 \right )
\end{cases}\Leftrightarrow(A,B)=\left (-\frac{13}7,-\frac{59\sqrt{87}}{203}\right )</math>.
Finalement : <math>\forall n \in \N\quad v_n=\left ( \frac{\sqrt6}2\right )^n \left (-\frac{13}7 \cos \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right )-\frac{59\sqrt{87}}{203}\sin \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right ) \right )+\frac{20}7</math>.
}}
 
{Solution
| titre = Solution de la question 2
| contenu =
* <math>\forall n \in \N\quad u_n=\frac7{12}+\frac5{12} \left (-\frac15 \right )^n+\frac n2\ge\frac7{12}-\frac5{12}\frac15+\frac n2</math> donc <math>u_n\to+\infty</math>.
 
* <math>\forall n \in \N\quad v_n=\left ( \frac{\sqrt6}2\right )^n \left (-\frac{13}7 \cos \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right )-\frac{59\sqrt{87}}{203}\sin \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right ) \right )+\frac{20}7</math>
* <math>\frac{\sqrt6}2>1</math>
* Montrons que <math>(x_n)_{n\in\N}=\left(A\cos(n\theta)+B\sin(n\theta)\right)_{n\in\N}</math> n'admet pas de limite.
 
Soit <math>n\in\mathbb N</math>:
 
Soit <math>\alpha\in\R</math> tel que <math>\begin{cases}\cos\alpha=\frac B{\sqrt{A^2+B^2}}\\
\sin\alpha=\frac A{\sqrt{A^2+B^2}}
\end{cases}</math>
 
Donc
 
<math>\begin{align}
x_n&=\left(\sin\alpha\cos(n\theta)+\cos\alpha\sin(n\theta)\right)\sqrt{A^2+B^2}\\
&=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+n\theta).
\end{align}</math>
 
Sous cette forme, il semble que <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math> n'admet pas de limite.
{{...}}
S'il en est bien ainsi, (v<sub>n</sub>) n'admet pas de limite.
}}
{{Solution
| titre = Solution des questions suivantes
| contenu =
}}