« Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2 » : différence entre les versions

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→‎Exercice 2 : retrait d'1 solution fausse et de question déraisonnables, cf. pdd
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==Exercice 2==
#Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par : <math>u_0 = u_1 = 1,\quad5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_n = 3</math>.<br>Exprimer <math>u_n</math> en fonction de ''n''. Quelle est la limite de <math>(u_n)</math>cette suite ?
#Soit <math>(v_n)</math> la suite définie par : <math>v_0 = 1, v_1 = -1,\quad\frac12 v_{n+1} - v_n = \frac23 \left( v_{n+2} - 5 \right)</math>. Exprimer <math>v_n</math> en fonction de ''n''.
{{Solution| titre =Solution de la question 1|contenu=
 
{{Solution
| titre =Solution de la question 1
| contenu =
* On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine : <math>5t_{n+2}-4t_{n+1}-t_n=0</math>.
* Le polynôme caractéristique associé est <math>P(X)=5X^2-4X-1</math>.
Ligne 50 ⟶ 47 :
*:<math>\begin{cases}
1=u_0=\alpha+\beta\\
1=u_1=\alpha-\displaystyle{\frac{\beta}5beta5+\frac12}
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
\alpha+\beta=1\\
\alpha-\frac{\beta}5beta5=\frac12
\end{cases}\Leftrightarrow(\alpha,\beta)=\left ( \frac7{12},\frac5{12}\right )</math>.
Finalement : <math>\forall n \in \N\quad u_n=\frac7{12}+\frac5{12} \left (-\frac15 \right )^n+\frac n2</math>.
Ligne 59 ⟶ 56 :
<math>\forall n \in \N\quad u_n\ge\frac7{12}-\frac5{12}\frac15+\frac n2</math> donc <math>u_n\to+\infty</math>.
}}
{{Solution| titre =Solution de la question 2|contenu=
 
{{Solution
| titre =Solution de la question 2
| contenu =
* On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine : <math>4t_{n+2}-3t_{n+1}+6t_n=0</math>.
* Le polynôme caractéristique associé est <math>P(X)=4X^2-3X+6</math>.
Ligne 76 ⟶ 70 :
\end{cases}\Leftrightarrow(A,B)=\left (-\frac{13}7,-\frac{59\sqrt{87}}{203}\right )</math>.
Finalement : <math>\forall n \in \N\quad v_n=\left ( \frac{\sqrt6}2\right )^n \left (-\frac{13}7 \cos \left (n \arctan\frac{\sqrt{87}}3\right )-\frac{59\sqrt{87}}{203}\sin \left (n \arctan\frac{\sqrt{87}}3\right ) \right )+\frac{20}7</math>.
}}
 
==Exercice 3==
Soient <math>a,b>0</math> et <math>(u_n)</math> la suite définie par : <math>u_0=a,\quad u_{n+1}=\sqrt{bu_n}</math>.<br>Exprimer <math>u_n</math> en fonction de ''n'' et <math>a,b</math> et montrer que cette suite est convergente et monotone.
{{Solution|contenu=
La suite <math>(v_n)</math> définie par <math>v_n=\log_2(u_n)</math> (c.-à-d. <math>u_n=2^{v_n}</math>) vérifie : <math>v_{n+1}=\frac12\left(\log_2(b)+v_n\right)</math>. C'est donc une suite arithmético-géométrique et (cf. chapitre 6)
:<math>v_n=2^{-n}v_0+(1-2^{-n})\log_2(b)</math>,
d'où
:<math>u_n=a^{2^{-n}}b^{1-2^{-n}}</math>.
Par conséquent,
<math>u_n\to a^0b^1=b</math>
et
:<math>\frac{u_n}{u_{n-1}}=\left(\frac ba\right)^{2^{-n}}</math> donc la suite est strictement croissante si <math>b>a</math>, strictement décroissante si <math>b<a</math> et constante si <math>b=a</math>.
}}