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« Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2 » : différence entre les versions

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m →‎Exercice 3 : Simplif
Ligne 75 :
Soient <math>a,b>0</math> et <math>(u_n)</math> la suite définie par : <math>u_0=a,\quad u_{n+1}=\sqrt{bu_n}</math>.<br>Exprimer <math>u_n</math> en fonction de ''n'' et <math>a,b</math> et montrer que cette suite est convergente et monotone.
{{Solution|contenu=
La suite <math>(v_n)</math> définie par <math>v_n=\log_2ln(u_n)</math> (c.-à-d. <math>u_n=2^{v_n}</math>) vérifie : <math>v_{n+1}=\frac12frac{v_n+\left(\log_2(ln b)+v_n\right)}2</math>. C'est donc une suite arithmético-géométrique et (cf. chapitre 6)
:<math>v_n=2\mathrm e^{-n}v_0+(1-2\mathrm e^{-n})\log_2(ln b)</math>,
d'où
:<math>u_n=a^{2\mathrm e^{-n}}b^{1-2\mathrm e^{-n}}</math>.
Par conséquent,
<math>u_n\to a^0b^1=b</math>
et
:<math>\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac b{u_n}=\left(\frac ba\right)^{2\mathrm e^{-n}}</math> donc la suite est strictement croissante si <math>b>a</math>, strictement décroissante si <math>b<a</math> et constante si <math>b=a</math>.
}}
 
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