« Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2 » : différence entre les versions

Soient <math>a,b>0</math> et <math>(u_n)</math> la suite définie par : <math>u_0=a,\quad u_{n+1}=\sqrt{bu_nb\,u_n}</math>.<br>Exprimer <math>u_n</math> en fonction de ''n'' et <math>a,b</math> et montrer que cette suite est convergente et monotone.

:<math>v_n=\mathrm e2^{-n}v_0+(1-\mathrm e2^{-n})\ln b</math>,

:<math>u_n=a^{\mathrm e2^{-n}}b^{1-\mathrm e2^{-n}}</math>.

:<math>\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac b{u_n}=\left(\frac ba\right)^{\mathrm e2^{-n}}</math> donc la suite est strictement croissante si <math>b>a</math>, strictement décroissante si <math>b<a</math> et constante si <math>b=a</math>.